三个向量任意两个不共线

Question

高数问题,快来啊~~
设向量a,b,c均为非零向量,证明下面结论：
1.若三个向量中任意两个不共线,但a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c=0
2.若a叉乘b+b叉乘c+c叉乘a=0,则a,b,c共面.

Answer 1

题：设向量a,b,c均为非零向量,证明下面结论：
1.若三个向量中任意两个不共线,但a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c=0
2.若a叉乘b+b叉乘c+c叉乘a=0,则a,b,c共面.
证明：由a+b与c共线；
知 存在常数k
使得
c=m(a+b) （1式）
其中m不为零.
同理
a=n(b+c) （2式）
其中n不为零.
将（1式）带入（2式）
化简得：
(1-mn)a=(n+mn)b
由于a、b均不是零向量
故n+mn=0
解得m=-1；
既是：c=-1(a+b)
既：a+b+c=0
（1）小题得证,同理可证（2）小题.