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    • 已知y1=x*e^x+e^(2x),y2=x*e^x+e^(-x),y3=x*e^x+e^(2x)-e^(-x)是某二阶线性非齐次微分方程的三个解求方程

    为什么e^(2x)与e^(-x)是通解，x*e^x是特解？不能反过来吗？当一个题目给出解的时候，怎么判断是通解还是特解呢？

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    推荐答案   2016-12-05
    通解必须包含待定积分常数，且积分常数的个数跟方程阶数一样多。因此你所给的形式都是特解。
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    ...e^(-x),y3=xe^x+e^(-x)是某二阶线性非齐次方程的解。求该方程的通 ...答：也可以是y2-y3和y2-y1啊，就是说，这三个特解两两减，只要结果不线性相关，那就可以作为齐次方程解得结构，但因为是2阶方程，只需要2个，所以不需要y2-y3.
    ...2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解...答：由题设，并根据二阶线性非齐次微分方程解的结构知：y1-y3=e-x是齐次方程的解，而y2-e-x=xex仍为非齐次方程的特解，进而得：y1-xex=e2x为齐次方程的解，即有e2x与e-2x是相应齐次方程的两个线性无关的解，且xex是非齐次方程的一个特解，故所求方程的通解为：y=xex+C1e2x+C2e-x，从而：...
    如图, 这一步是怎么得来的?答：代入，相减：y1*=xe^x+2e^(-x)y2*=xe^x+e^(2x)y3*=xe^x+e^(2x)-e^(-x)y''+py'+qy=f (1)y1*''+py1*'+qy1*=f (2)y2*''+py2*'+qy2*=f (3)y3*''+py3*'+qy3*=f y=y1*-2y1=y1*-2(y2*-y3*)=y1*-2y2*+2y3 (1)-2(2)+2(3)(y1*''-2...
    已知y1=xe^x+e^2x,y2=xe^x+e^-x,y3=e^2x-e^-x+xe^x 是某二阶常系数非...答：代入任意一个皆可，结果必须是一样的。如果f(x)不一样，肯定是算错了。（实际上，这三个解的公共部分xe^x是非齐次线性方程的解，由此可求得f(x)）
    已知某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.答：y''-y'-2y=e^x-2xe^x。某二阶线性非齐次微分方程的三个解:y1=xe^x,,,y2=xe^x+e^-x,,,y3=xe^x+e^2x-e^-x 那么y2-y1=e^-x,y3-y2=e^2x是二阶线性齐次微分方程的两个解:，故二阶线性齐次微分方程的特解C1e^-x+C2e^2x，-1,2是特征根，二阶线性齐次微分方程为：y'...
    y1=xe^x+e^2x,y2=e^-x+xe^x y3=e^2x-e^-x+xe^x 是某二阶常系数非奇次...答：从而，这三个解中任意两个解的差都是原来的齐次微分方程的通解。显然可以得到e^2x和e^-x是原方程的通解，从而对应的齐次方程是y''+y'-y=0.同时xe^x是原方程的一个特解，带入这个齐次方程，计算出结果为（3+x）e^x.从而，这个微分方程为y''+y'-y=（3+x）e^x。
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