求一个四阶常系数齐次线性微分方程，使之有四个特解：y1=e^x,y2=x*e^x,y3=cos2x,y4=2*sin2x，并求通解

Question

要过程 详细

Answer 1

可以看出线性无关的四组解为e^x,xe^x,cos2x,sin2x

所以特征根为1,1,2i,-2i

所以特征根方程为

(r-1)^2(r-2i)(r+2i)

=0(r^2-2r+1)(r^2+4)

=0r^4-2r^3+5r^2-8r+4

=0

即原方程为y''''-2y'''+5y''-8y'+4y=0

通解为y=C1e^x+C2x...

扩展资料：

线性微分方程表达式：

线性微分方程的一般形式是：

其中D是微分算子d/dx（也就是Dy = y'，D2y = y"，……），

 是给定的函数。这个微分方程是n阶的，因为方程中含有y的n阶导数，而不含n+1阶导数。

 如果ƒ = 0，那么方程便称为齐次线性微分方程，它的解称为补函数。这是一种很重要的方程，因为在解非齐次方程时。

把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解，便可以得到非齐次方程的另外一个解。如果是常数，那么方程便称为常系数线性微分方程。

参考资料：百度百科——线性微分方程

Answer 2

所以可以看出线性无关的四组解为e^x,xe^x,cos2x,sin2x所以特征根为1,1,2i,-2i所以特征根方程为(r-1)^2(r-2i)(r+2i)=0(r^2-2r+1)(r^2+4)=0r^4-2r^3+5r^2-8r+4=0即原方程为y''''-2y'''+5y''-8y'+4y=0通解为y=C1e^x+C2x...本回答被提问者和网友采纳