高数题求详解，在线等

Question

如题所述

Answer 1

5.求抛物线y=x²ä¸Žç›´çº¿x=1及x轴所围图形绕y轴旋转所成立体的体积。

解：体积V:

6.求微分方程 (1+y²)dx-xy(1+x²)dy=0满足初始条件y(1)=2的特解。

解：xy(1+x²)dy=(1+y²)dx

分离变量得：[y/(1+y²)]dy=[1/x(1+x²)]dx

取积分得 âˆ«[y/(1+y²)]dy=∫[1/x(1+x²)]dx

(1/2)∫d(1+y²)/(1+y²)=∫[(1/x)-x/(1+x²)]dx

(1/2)ln(1+y²)=lnx-(1/2)∫d(1+x²)/(1+x²)=lnx-(1/2)ln(1+x²)+lnc=ln[cx/√(1+x²)]

故得隐性通解：√(1+y²)=cx/√(1+x²)

即1+y²=c²x²/(1+x²)；y²=[c²x²/(1+x²)]-1;

代入初始条件y(1)=2，得4=(c²/2)-1，c²=10；

故满足初始条件的特解为：y²=[10x²/(1+x²)]-1=(9x²-1)/(1+x²).