一、原函数
如果在区间上， ，则 称为 的一个原函数.
【注】如果一个函数存在原函数，那么它有无穷多个原函数，而且其中任何两个原函数之间只相差一个常数．对于不同描述形式的原函数，相差的常数可以通过取特定变量值来得到. 比如
, 都是 的原函数，则
令 ，得 ，即
二、原函数存在定理
原函数存在定理：
(1)若函数 在区间 上连续，则 在区间 上存在原函数.
(2)如果在区间 上函数 有第一类间断点和第二类无穷间断点，则函数在该区间 上没有原函数；如果函数在区间 上仅仅具有第二类振荡间断点，则有可能存在有原函数.
例1包含振荡间断点的区间内定义的函数可能存在有原函数. 如
为 的振荡间断点， 在全体实数范围内有原函数 .
例2包含第一类间断点的区间内函数不存在原函数.
在 点出分别为函数 的第一类跳跃间断点和可去间断点，它们在区间 上都不存在原函数. 对于 ，在 处对应着分段函数的尖点位置；对于 ，假设有原函数 ，则在 时，有 ，由可导必定连续，则 ，所以在 内 ，从而有 ，从而与所设 为 的原函数矛盾.
例3包含第二类无穷间断点的区间内函数不存在原函数. 如
在区间 上不存在原函数，其中 为函数 的无穷间断点. 虽然通常记
但这仅仅是一种形式上的记法，并不代表 在区间 上存在原函数，因为对数函数 在 处根本没有定义，当然也就不可能存在导数.
三、不定积分
函数 在区间 上所有原函数的一般表达式称为 在 上的不定积分，并且有
其中
称为积分常数或任意常数
是 的在区间 上的任意一个原函数
称为被积函数，
称为被积表达式，计算中就为原函数的微分，即
称为积分变量，即仅仅对 变量求导数或微分，其余符号对于积分而言为常数．
【注】不定积分是所有原函数的集合，结果一定不能缺少 ！没有 则仅仅是原函数集合中的一个元素.
四、不定积分基本性质
1、求导、微分与积分的互逆运算
【注】不定积分与求导、微分互为逆运算，交替使用相互“抵消”. 最后的一个运算决定结果形式，最后运算为不定积分，则结果不能忽略任意常数 ；为微分运算，则结果不能缺少 .
2、不定积分线性运算性质
如果 与 的原函数存在，则
其中 和 为常数．
五、基本不定积分公式
由基本初等函数的导数基本公式，逆向推导有基本初等函数的不定积分基本计算公式，它们是求不定积分的基础，必须熟记和掌握！具体基本积分表参见后面的课件或教材！
【注1】基本不定积分基本公式表中的公式中的d就为微分运算符. 其中的积分变量符号x可以直接替换为任意可导函数表达式.不过记得一定是等式两端所有x都换成相同的表达式. 如
由此可知 是 的一个原函数. 这个结果的应用直接得到后面不定积分的“凑微分”法或第一类换元法.
【注2】对于不定积分结果在计算出来以后，一定要通过求导运算验证其结果是否就为被积函数. 只要求导结果为被积函数，则不管结果的描述形式如何都为正确结果.
【注3】有理函数的积分一般拆分成部分分式计算积分，有理函数的部分分式分解参见推荐阅读列表中的“
关于不定积分、定积分与多元函数积分计算正确性的验证和思路、方法的有效性的验证与确认，可以参见如下的推文给出的方法：
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参考课件
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