如何证明有界数列一定有收敛的子数列？

如题所述

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推荐答案 2023-12-28

利用魏尔斯特拉斯聚点定理即可证明致密性定理。

考虑有界数列{xn}：

1、若{xn}中有无穷多项相等，则取这些相等的项为子列。

2、若不含无穷多相等项，则{xn}为一有界无限点集，由聚点定理可知，{xn}存在聚点x0。

任取a>0，存在xn1使得|xn1-x0|<a。

继续取a/2,a/2^2...

可得到{xn}的子列{xnk}收敛于x0。

综上致密性定理成立。

扩展资料：

定律定义

先介绍子列的概念：在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子列。

根据极限的性质，数列有界是收敛的必要条件，即如果数列收敛，那它一定有界，但反之不一定成立。可是致密性定理却告诉我们，只要一个数列有界，那么它一定会有收敛的子数列。

参考资料来源：百度百科-波尔查诺-维尔斯特拉斯定理

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