多元二次轮换式的求最小值问题

Question

设x1,x2,x3,x4,x5…xn为非负实数，（1,2,3,4是下标）
满足
x1x2+x2x3+x3x4+x4x5…+xn-2xn-1+xn-1xn+xnx1=1,

问：x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+…+xn-1+xn有无最小值？
若有，求其值并说明xi （i=1,2,…n）取何值时x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+…+xn-1+xn取最小值。

Answer 1

用拉格朗日乘数法就行了，
令f(x_1, x_2, ..., x_n, y ) = x_1 + ... + x_n - y(x_1*x_2 + x_2*x_3 + ... + x_n * x_1 - 1)
求偏导数，比如f_i表示f对x_i的偏导，那么
f_i = 1 - y(x_{i-1} + x_{i+1})
f_y = 1 - (x_1*x_2 + x_2*x_3 + ... + x_n * x_1)
令各偏导为0，得到关于{x_i}和y这n+1个变量的n+1个二次方程。
有 x_1 + x_3 = x_3 + x_5 = ... = 1/y
所以 x_1 = x_5 = x_9 = ...
同样 x_2 = x_6 = x_10 = ...
x_3 = x_7 = ...
x_4 = x_8 = ...
下面分情况讨论：

1. 如果 n=4k+1，那么
x_3 = x_7 = ... = x_{n-2} = x_2
= x_6 =... = x_{n-3} = x_1
= x_5 = ... = x_n = x_4
= x_8 = ...
得到所有x_i全相等，都等于 根号下(1/n)，此时 x_1 +...+ x_n = 根号下n

2. 同样如果 n=4k+2，那么
x_2 = x_6 = ... = x_n = x_4
= x_8 = ... = x_{n-2}
x_3 = x_7 = ... = x_{n-3} = x_1
= x_5 = ... = x_{n-1}
就是说，奇数项都相同，偶数项也都相同。得到
0 = 1 - y(x_1 + x_3) = 1 - 2y*x_1
同样 0 = 1 -2y*x_2，同样得到所有的 x_i 全等。

3. 如果n=4k+3，情况同 1

4. 如果n=4k，方程简化为
x_1 + x_3 = x_2 + x_4
0 = 1 - k(x_1*x_2 + x_2*x_3 + x_3*x_4 + x_4*x_1)
得到 0 = 1 - k[x_2(x_1+x_3) + x_4(x_3+x_1)] = 1-k(x_1+x_3)(x_2+x4) = 1-k(x_1+x_3)^2
得到 x_1+x_3 = 根号下(1/k)

此时 x_1 + ... + x_n = k(x_1+x_2+x_3+x_4) = 2k(x_1+x_3) = 2根号下(k) = 根号下n

总之，最小值都是根号下n, 所有x_i全相等时可以取得

Answer 2

楼上两个人写的答案是不是有问题啊 只看了下答案就觉得困惑啊
√n是最小值吗？ 假如令X1=Xn=1,余下的各项都等于零（X2=X3=X4...Xn-1=0
)符合已知条件：①x1,x2,x3,x4,x5…xn为非负实数
也满足②x1x2+x2x3+x3x4+x4x5…+xn-2xn-1+xn-1xn+xnx1=1,
那么x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+…+xn-1+xn=2了
而√n是随着n的值变化的 也就是说你们所求的最小值随n变化 当n很大的时候 √n很显然能比2大啊。是不是漏情况分析了。

Answer 3

可用拉格朗日乘子法

解：

令f(x1,x2,...,xn)=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+…+xn-1+xn
g(x1,x2,...,xn)=x1x2+x2x3+x3x4+x4x5…+xn-2xn-1+xn-1xn+xnx1-1
定义新函数
F(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λg(x1,x2,...,xn)
则用偏导数方法列出方程：

∂F/∂x1=0
∂F/∂x2=0
...
∂F/∂xn=0
∂F/∂λ=0

即
1+(x2+xn)λ=0
1+(x1+x3)λ=0
1+(x2+x4)λ=0
1+(x3+x5)λ=0
...
1+(xn-2+xn)λ=0
1+(xn-1+x1)λ=0
g(x1,x2,...,xn)=x1x2+x2x3+x3x4+x4x5…+xn-2xn-1+xn-1xn+xnx1-1=0

∴由以上第2式，第4式，第6式...可知
x1=x5=...=x(4k+1)=...=x(n-3)
同理
x2=x6=...=x(4k+2)=...=x(n-2)
x3=x7=...=x(4k+3)=...=x(n-1)
x4=x8=...=x(4k+4)=...=xn

要使以上各式在n为任意数时成立，必有
x1=x2=x3=...=xn
故g(x1,x2,...,xn)=n(xn)^2-1=0

∴x1=x2=x3=...=xn=√(1/n)
此时
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+…+xn-1+xn=n(xn)=n√(1/n)=√n
即为所求。本回答被网友采纳