泰勒公式形式
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。[1]
余项
泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺（Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）[2]
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈（0,1）。
5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。[2]
带佩亚诺余项
以下列举一些常用函数的泰勒公式[1]：
泰勒公式的证明基于泰勒展开，通过将函数展开为无限项的幂级数来逼近函数的值。以下是一个大致的证明过程：
考虑一个光滑的函数f(x)，假设它在x=a处具有任意阶导数。
将f(x)在x=a处展开为幂级数，即f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! +
f'''(a)(x-a)^3/3! +
...，其中f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，依此类推。这个展开式可以看作是一个无穷阶的泰勒级数。
接下来，我们可以将展开式截断为有限项，得到近似值：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n!，这就是泰勒公式的核心部分，它表示了函数在某一点附近的近似值。
要证明这个截断后的近似式成立，我们可以使用数学归纳法。首先，验证n=1时泰勒公式成立，即f(x) ≈ f(a) +
f'(a)(x-a)。然后，假设当n=k时泰勒公式成立，即f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!
+ ... + f^k(a)(x-a)^k/k! + Rk(x)，其中Rk(x)表示余项，它表示了截断后的近似值与真实值之间的误差。
考虑n=k+1时的情况，此时余项为Rk+1(x) = f(x) - (f(a) + f'(a)(x-a) +
f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^k(a)(x-a)^k/k! +
f^(k+1)(a)(x-a)^(k+1)/(k+1)!)。我们需要证明当x趋近于a时，Rk+1(x)是(x-a)^(k+1)的高阶无穷小。这可以通过多次使用洛必达法则进行化简，并应用导数的定义和性质来完成。
综上，通过数学归纳法和洛必达法则，我们可以证明泰勒公式在任意点x=a处成立。
请注意，上述证明过程仅提供了泰勒公式证明的一个大致框架，详细的证明过程可能涉及更多的数学知识和技巧。此外，泰勒公式的证明也可以采用不同的方法，如使用柯西中值定理等。在实际应用中，我们通常直接使用泰勒公式的结果，而不必每次都进行完整的证明。