泰勒公式 证明

Question

如题所述

Answer 1

泰勒公式是解决能否用多项式逼近给定的函数。即f(x)=pn(x)+o((x-x0)^n)
当然在任意点都满足了,以下给出证明方法:
泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+rn
其中rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）
证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limδx→0
f(x.+δx)-f(x.)=f'(x.)δx），其中误差α是在limδx→0
即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
p(x)=a0+a1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-p(x)的具体表达式。设函数p(x)满足p(x.)=f(x.),p'(x.)=f'(x.),p''(x.)=f''(x.),……,p(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出a0、a1、a2、……、an。显然，p(x.)=a0,所以a0=f(x.)；p'(x.)=a1,a1=f'(x.)；p''(x.)=2!a2,a2=f''(x.)/2!……p(n)(x.)=n!an,an=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：p(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了。设rn(x)=f(x)-p(x),于是有rn(x.)=f(x.)-p(x.)=0。所以可以得出rn(x.)=rn'(x.)=rn''(x.)=……=rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(x)-rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得rn'(ξ1)-rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-p(n+1)(x),由于p(n)(x)=n!an,n!an是一个常数，故p(n+1)(x)=0，于是得rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把rn(x)写为rn。

Answer 2

书上的表达方式有很多同学不能理解。
要证明式子
f(x)=
Pn(x)
+
[f
(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!]，
只要证明
f(x)-
Pn(x)
=
[f
(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!]，
现在我们引入记号
Rn(x)
=
f(x)-
Pn(x)
这样只要证明
Rn(x)
=
[f
(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!]，
从而只要证
Rn(x)
/
[(x-x0)^(n+1)]=
[f
(ξ)]
/
[(n+1)!]，
后面就是对左边两个函数应用Cauchy中值定理证明了。