向量组x1 x2 x3 x4线性相关，x1 x2 x3 x5线性无关，为什么x1 x2 x3 x5-x4也线性无关

Question

如题所述

Answer 1

设x4=k1*x1+k2*x2+k3*x3, k1~k3不为0
使用反证法, 若x1, x2, x3, x5-x4线性相关.则必定可以找4个不全为0的系数a1~a4,使得
a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*(x5-x4)=0
若a4=0, 则x1, x2, x3必然线性相关, 矛盾.
若a4≠0, 则
a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*(x5-x4)=(a1-a4*k1)x1+(a2-a4*k2)x2+(a3-a4*k3)x3+a4x5=0
则x1, x2, x3, x5线性相关, 矛盾.

综上所述, x1, x2, x3, x5-x4必定线性无关.

Answer 2

∵x1 ，x2， x3， x5线性无关，
∴x1 ，x2， x3线性无关。
∵x1 ，x2， x3， x4线性相关，
∴x4可用x1,x2,x3线性表示：存在数m1,m2,m3,使得x4=m1x1+m2x2+m3x3,
若x1 ,x2, x3, x5-x4也线性相关，则
x5-x4可用x1,x2,x3线性表示:存在数n1,n2,n3,使得x5-x4=n1x1+n2x2+n3x3,
于是x5=x4+n1x1+n2x2+n3x3
=(m1+n1)x1+(m2+n2)x2+(m3+n3)x3,
∴x1 ,x2, x3, x5线性相关，与题设矛盾，
∴命题成立。本回答被网友采纳