高数 求通解

Question

如题所述

Answer 1

【分析】
可降阶的高阶微分方程
方程类型如果是不显含y的二阶方程 y'' = f(x，y')
令y' = p，则y'' = p'，原方程 → p'=f(x，p)—— 一阶方程，设其解为 p = g(x，C1），
即y' = g(x，C1），则原方程的通解 为 y = ∫g(x，C1）dx+C2

一阶贝努利方程 y' + F(x)y = G(x)y^n ，其中n≠0，1 令z=y^(1-n)，
则方程 → dz/dx + (1-n)F(x)z = (1-n)G(x) ，属于一阶线性方程。

一阶线性方程 y' + F(x)y = G(x) ，用常数变易法求
1、求对应齐次线性方程y' + F(x)y = 0 的通解 y=Ce^(-∫F(x)dx)
2、令原方程的解为 y=C(x)e^(-∫F(x)dx)
3、带入原方程整理得 C(x) = ∫G(x)e^(∫F(x)dx) dx + C
4、原方程通解 y = [∫G(x)e^(∫F(x)dx) dx + C]e^(-∫F(x)dx)

【解答】
令y' = p，则y'' = p'，p' - p = p^3 是一阶贝努利方程 ，令z = p^-2
得 dz/dx + 2z = -2，是一阶线性方程
解得 z = [∫G(x)e^(∫F(x)dx) dx + C]e^(-∫F(x)dx) G(x)= -2 F(x)=2
z = Ce^(-2x) - 1
即，p^2 = 1/[Ce^(-2x) - 1]
p = √1/[Ce^(-2x) - 1]
即 y'=√1/[Ce^(-2x) - 1] 套公式即可。
y = arcsinC1e^x + C2

newmanhero 2015年2月4日21:49:36

希望对你有所帮助，望采纳。