高等数学求微分方程的通解

Question

dy/dx=y/x+e^(y/x)
x^2*dy/dx+2xy=5y^3
y''''-2y'''+5y''=0
求详细解答过程~万分感谢

Answer 1

1, dy/dx=y/x+e^(y/x) 为齐次微分方程，
令 u=y/x， 则 y=xu， 原方程化为 u+xdu/dx=u+e^u，
e(-u)du=dx/x, 解得 -e^(-u)=lnx-C, 即通解为 e^(-y/x)+lnx=C。
2. x^2*dy/dx+2xy=5y^3 即 d(yx^2)/dx=5y^3, 令 u=yx^2， 则 y=u/x^2， 原方程化为
du/dx=5u^3/x^6, du/u^3=5dx/x^6, -1/(2u^2)=-1/x^5-C/2, 即通解为 1/(y^2*x^4)=2/x^5+C.
3. y''''-2y'''+5y''=0， 特征方程为 r^4-2r^3+5r^2=0, 得特征根是 r=0,0,1±2i,
则通解为 y=A+Bx+e^x(Ccos2x+Dsin2x).

Answer 2

1、令y/x=u，则dy/dx=u+xdu/dx
所以u+xdu/dx=u+e^u
e^(-u)du=dx/x
两边积分：-e^(-u)=ln|x|+C
e^(-u)=-ln|x|+C
-u=-y/x=ln(-ln|x|+C)
y=-xln(-ln|x|+C)
2、d(x^2y)/dx=5y^3
令x^2y=u，则y^3=u^3/x^6
所以du/dx=5u^3/x^6
du/u^3=5dx/x^6
两边积分：-1/(2u^2)=-1/x^5
2u^2=2x^4y^2=x^5
y^2=x/2
3、特征方程为t^4-2t^3+5t^2=0,t=0（重根）,1±2i
所以y=(C1x+C2)e^0+e^x(C3sin(2x)+C4cos(2x))=C1x+C2+e^x(C3sin(2x)+C4cos(2x))