高数 求微分方程的通解

Question

高数 求微分方程的通解（1）y''＝y'+x,（2）y³y''-1=0.求高人指教，详细优先。谢谢

Answer 1

(1)
y''-y'=x
这个是标准的二阶非齐次微分方程
1.先求齐次的通解。

特征方程r²-r=0
r(r-1)=0
得r1=0，r2=1
即Y=C1+C2e^x
2.求非齐次的特解

λ=0是单根
所以k=1
设y*=x(ax+b)=ax²+bx
y*'=2ax+b
y*''=2a
代入原方程
2a-2ax-b=x
得a=-1/2，b=-1
即y*=-x²/2 - x
综上
所以非齐次的通解y=Y+y*=C1+C2e^x -x²/2 - x
(2)
解微分方程y''y³-1=0的通解
设y′=p
则y′′=dy′/dx=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy),
代入原式得：
p(dp/dy)y³=1,
分离变量得：pdp=dy/y³；
积分得
p²/2=-1/(2y²)+(C₁)/2；
即有p²=-(1/y²)+C₁；
故得p=y′=dy/dx=√[C₁-(1/y²)]；
于是得dy/√[C₁-(1/y²)]=dx；
即有ydy/√(C₁y²-1)=dx；
积分：(1/2C₁)∫d(C₁y²-1)/√(C₁y²-1)=∫dx；
故得(1/C₁)√(C₁y²-1)=x+C₂；
即C₁y²-1=(C₁x+C₁C₂)²；
故 y²=(1/C₁)[(C₁x+C₁C₂)²+1]为其通解.
C₁C₂可以合并为C

追问

这里教材上的答案：（1）y=C1e^x-x²/2-x+C2；
（2）y=arcsin（C2e^x）+C1.
，第一题有点理解了，但这第二题形式上差别有点大，不知道是不是同一解。

追答

应该不是，这个答案是另外一题的，我也做过。你可以对y求导，然后代入原式，应该算出来和原来的式子不一样

y"=y'³+y'

这个方程的通解应该是你写的那个答案

追问

……不好意思，我看一下，好像抄错了

对对，看错位了。谢谢

Answer 2

解:微分方程为y³y"-1=0，化为2y'y"= 2y'/y³，(y'²)'=2y'/y³，y'²=-1/y²+c²(c为任意常数)，y'²=(c²y²-1)/y²，yy'/√(c²y²-1)=1，c²yy'/√(c²y²-1)=c²，[√(c²y²-1)]'=c²，微分方程的通解为c²y²=(c²x+a)²+1(a为任意常数)