∫xcos^2xdx用分部积分怎么解

Question

如题所述

Answer 1

用分部积分可以这么解：
1、选择u=x和dv=cos^2(x)dx。根据分部积分法，du=dx和v=∫cos^2(x)dx。对于v的积分，可以使用半角公式将cos^2(x)表示为(1+cos(2x))/2，然后进行积分。得到v=∫(1+cos(2x))/2dx=x/2+(sin(2x))/4+C，其中C是积分常数。
2、现在，可以应用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu，来计算原始积分∫xcos^2(x)dx。代入u、v和的导数du、dv，有：∫xcos^2(x)dx=uv-∫vdu=x(x/2+(sin(2x))/4+C)-∫(x/2+(sin(2x))/4+C)dx=(x^2)/2+(xsin(2x))/4+C1-(x^2)/4-(cos(2x))/8-C2=(x^2)/4+(xsin(2x))/4 -(cos(2x))/8+C3，其中C1、C2、C3是积分常数。最后得出∫xcos^2(x)dx=(x^2)/4+(x*sin(2x))/4-(cos(2x))/8+C3。