高一数学三角函数周期问题

Question

教科书上这么说：今后本书中所涉及到的周期，一般都是指函数的最小正周期。

二：正弦函数是周期函数，最小正周期是2π。。。

我很纳闷。。既然说了sin的最小正周期是2π。。那为什么还有一些题目要求函数的周期呢？？

还有T=2π/w 是怎么得出来的？

Answer 1

问题一：是这样的，Y=SINX是正弦函数的基本形式，它的最小正周期是2π，但是有很多时候我们看见的函数都不是这么简单的形式。
例如：Y=SIN(2X+3/π）这个函数，由于它的w=2,所以它的最小正周期T=2π/2=π。
在这里我们可以用这一种方法来判断三角函数的最小正周期，就是把SIN,COS后面括号里面的数字都单独提出来看，例如Y=SINX可以看成是Y=SIN(X),所以它的w=1,如此类推。

问题二：如果按照三角函数的平移的理论，当sinx要变成sin（2x）的时候，就是要把函数图像上面的点都压缩成原来的1/2倍，换言之，就是如果sinx变成sin（1/2x）就要把函数图像上面的点都拉伸为原来的2倍。

Answer 2

y=f(x)的周期为3求y=f(2x+1)的周期
对应法则为:
f(x)=f(x+3),..........(1),
T=3,
f(2x+1)=f(2x+4)
提取2是因为按对应f(x+3)来变形的,而在f(2x+4)中,加了一个T=3的周期,在f(x+3)中也加了一个T=3,
在加了T=3的含X项,前的系数都要全部提出来,再进行转化,不含有其它的系数,而只含有X.
这样才能运用对应法则:f(x)=f(x+3),否则都不能运用此对应法则,映像是一一对应的,映射法则.
f[2(x+1/2)]=f[2(x+2)]
,......(2)
(2)式变形为:
即有,f(x+1/2)=f[(x+1/2)-1/2+2]
再根据(1)式中的对应法则,
f(x)=f(x+3),
T=3,
把(X+1/2)当作一个整体X看待,
f(x)=f(x+T)与f(x+1/2)=f[(x+1/2)-1/2+2]是恒等变形的,则有
T=-1/2+2=3/2,
希望你能明白.

Answer 3

抽象函数就是害人啊。由题设知，f(x+3)=f(x).令x=2t+1,则有f(2t+4)=f(2t+1).即f(2x+4)=f(2x+1)[注：哪个字母为自变量均可].令g(x)=f(2x+1).则有：g[x+(3/2)]=f[2(x+3/2)+1]=f[2x+4]=f(2x+1)=g(x).===>g[x+(3/2)]=g(x).即函数g(x)的周期为3/2.即y=f(2x+1)的周期为3/2.其实，f(2x+1)是一个复合函数，自变量是x,设个中间量就清楚了。由f(2x+1)=f(2x+4)===>f[2(x+1/2)]=f[2(x+2)]=f{2[(x+1/2)+3/2]}.令t=x+1/2.则有f(2t)=f[2(t+3/2)]说明复合函数f(2x)的自变量x增加3/2.时，值不变，故周期为3/2.

Answer 4

三角函数的精髓就是周期，这个一定要理解好。
sin(wx)=sin(wx+2π),
sin(wx)=sin(w(x+T))=sin(wx+T)=sin(wx+2π),
所以T=2π/w（上面的推理不是很严格，只是大致过程如此。）

Answer 5

f(x)=Asin(wx+Ф)是通式周期T只与w有关
你求出的w来代入公式就尅以求出T
要结合图像，cos也一样
eg.sin(2x+∏/3)中T=2∏/2=∏