在十七世纪，伽利略在他的著作《两门新科学》中，首次触及了函数的概念，用文字和比例的方式描述了变量之间的关系。笛卡尔在其解析几何中，虽然注意到了变量间的依赖关系，但并未明确提炼出函数的概念，直到17世纪末期，牛顿和莱布尼兹发展了微积分，函数才开始被广泛研究，那时大部分函数被视为曲线的特性。
1673年，莱布尼兹首次使用“function”这个词，它最初表示幂，随后扩展到表示曲线上点的几何量。牛顿在微积分讨论中，以“流量”来表示变量间的相互作用。十八世纪，约翰·贝努利对函数给出了定义，认为由变量和常数构成的任何形式的量都是函数，并强调了公式表示的重要性。1748年，欧拉在《无穷分析引论》中进一步阐述，函数是某变量随其他变量变化而变化的表达式，区分了代数函数和超越函数，还引入了“随意函数”这一概念。
18世纪中叶，欧拉的定义更为普遍，他定义函数为变量与数（常数）的任意组合的解析表达式。1821年，柯西首次提出自变量的概念，强调函数关系不必有解析表达式，但他仍认为可以用多个解析式表示。傅里叶于1822年揭示了函数可以用曲线、单一式子或多个式子表示，深化了对函数的理解。
1837年，狄利克雷扩展了函数定义，强调的是对于每个确定的x值，y都有唯一确定的值，这一定义避免了对依赖关系的过多描述，成为现代函数定义的基础。随着集合论的发展，维布伦和豪斯道夫等人分别从集合和序偶的角度，对函数的对应关系、定义域和值域进行了更深入的探讨，使得函数的概念更加严谨和抽象，不再局限于变量为数，而是可以处理更广泛的对象。
在20世纪初，豪斯道夫和库拉托夫斯基分别用“序偶”和集合的概念，给出了现代的函数定义，明确了自变元和因变元的概念，标志着函数理论的进一步成熟。至今，这一定义仍是现代数学中理解函数的核心内容。
扩展资料
函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。