恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大,无穷大的倒数为无穷小.0是个很奇怪的数字,在这里,0是唯一可以作为无穷小的常数.所以单纯的说“无穷小的倒数是无穷大”是错的。
根据无穷小的定义常函数f(x)=0在任何值处都是无穷小(可以去参照同济版高数第五版第一册第38页),但明显0的倒数没有意义,不是无穷大。
恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大,无穷大的倒数为无穷小。
无穷小定义:
对于任给的正数 ε(无论它多么小),总存在正数(或正数
)使得不等式
(或
)的一切
对应的函数值
都满足不等式
,则称函数
为当
(或
)时的无穷小量。记做:
(或
)。
无穷大定义:
当自变量x趋于x0时,函数的绝对值无限增大,则称为当
时的无穷大。记作
。[1] 同样,无穷大不是一个具体的数字,而是一个无限发展的趋势。
无穷小的倒数,是指当一个数趋近于零时,其倒数的值趋近于正无穷大的数。
例如,假设x是一个趋近于零的数,那么1/x就是x的倒数,当x趋近于零时,1/x的值趋近于正无穷大。
无穷小的倒数在数学分析和物理学等领域中有着广泛的应用,例如在微积分中,当一个函数的导数趋近于零时,其倒数可以用来近似表示该函数在某一点的斜率。
无穷小的倒数并不是一个确切的数,它只是一个概念,表示当一个数趋近于零时,其倒数的值趋近于正无穷大。在实际应用中,我们通常使用极限的概念来描述无穷小的倒数。