这是一道IMO试题,我所知证法不少于10种.
以下用一个最简单的方法(凸函数法):
构造一个下凸多元函数
f(s,t,v)=s/√(s²+8tv),
则依Jensen不等式的推广式得
f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)
≥3f[(a+b+c)/3,(b+c+a)/3,(c+a+b)/3],
即a/√(a²+8bc)+b/√(b²+8ca)+c/√(c²+8ab)
≥3[(a+b+c)/3]/√[(a+b+c)²/9+8(a+b+c)²/9]
=1.
故a/√(a²+8bc)+b/(b²+8ca)+c/√(c²+8ab)≥1.
即原不等式得证。
追问非常感谢~~~
能否再请教一题?a、b、c大于0,且abc=1,求1/(2a+1)+1/(2b+1)+1/(2c+1)的最小值