高中数学：设x>0,证明不等式x-x^3/6<sinx<x

Question

设x>0,证明：不等式x-x^3/6<sinx<x
要详解

Answer 1

这个有多种方法，
我只讲一个：由导数求最大值的方法。因为这个方法是学习过导数后用的最时尚也最有效的方法

先证明sinx<x
因为当x=0时，sinx-x=0
如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，
求导数有sinx-x的导数是cosx-1
因为cosx-1≤0
所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，
知sinx<x

再证x-x³/6<sinx
对于函数x-x³/6-sinx
当x=0时，它的值为0
对它求导数得
1-x²/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。
要证x²/2+cosx-1>0 x>0
再次用到函数关系，令x=0时，x²/2+cosx-1值为0
再次对它求导数得x-sinx
根据刚才证明的当x>0 sinx<x的，所以x-sinx<0
x²/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0
x²/2-cosx-1<0 x>0
所以x-x³/6-sinx是减函数，在0点有最大值0
得x-x³/6<sinx

这个多次求导数证明的题目比比皆是
希望对你有帮助

并且要多说一句，这个不等式很著名并且有用。
你到大学学过函数的展开后就对它有了个更加清楚与理性的了解了。希望对你的后来有作用。

Answer 2

令f(x)=sinx-x;
对f(x)求导为cosx-1<0；
f(x)单调减；
f(x)<f(0)=sin 0-0=0;
右式得证；
同样的方法，可以证明左式

Answer 3

左边x-x^3/6-sinx<0
求导1-x^2/2-cosx<0
2(sin(x/2))^2-x^2/2<0
(sin(x/2))^2-x^2/4<0
因为x>sinx>0,有(sin(x/2))^2-(x/2)^2<0