高二数学 关于复合函数求零点。

Question

设f(x)=4^x-2^(x+1)-b(b∈R)是关于x的函数,
(1)若f(x)有零点,求b的取值范围。
(2)当f(x)有零点时,讨论零点的个数，并求出函数的零点。
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Answer 1

设2^x为变量为t，则f(t)=t^2-2t-b.
使有零点，则f(t)=0有解。利用根的判别式使之大于或等于零。又因为t的解是2^x的解，考虑2^x的取值范围大于0，即f(t)两根均大于零。利用根和系数关系，则有-b>0.
综合上述两条得b的范围是[-1,0)
讨论个数么，重根的情况是根的判别式等于零，即b=-1，两个根的时候就是b在(-1,0)之间。用一元二次方程求解出t再代入x就可以了
再加点分吧，打的挺累的。

Answer 2

求导f(x)′=4^x/(ln4)-2^(x+1)/(ln2)
令f(x)′=0 x=2
当x＞2,f(x)′＞0
x＜2,f(x)′＜0
∴x=2是f(x)的极小值
又∵x∈R
∴x=2是f(x)最小值
∴要使f(x)有零点,f(2)≤0
即16-8-b≤0
b≥8
∴b的取值范围b≥8

(2)当b=8时，零点只有一个，即是f(2)=8-b
当b＞8时，零点有两个，令2^x=t
t²-2t-b=0
t=1+_根号（1+b)
∴零点x1=log2(1+根号1+b），x2=log2(1-根号1+b)

Answer 3

（1）b≥-1 设2^x=t 令f(X)得t^2-2t-b=0 ∵f(x)有零点∴△=4+4b≥0∴b≥-1