讨论函数y=x+a/x(a不等于0)的定义域、值域、单调性、奇偶性,并做出简图

Question

要讨论a是大于0还是小于0
急用``谢谢！^.^

Answer 1

解：∵函数y=f(x)=x+a/x(a不等于0)
∴它的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)
∵f(-x)=-x-a/x=-(x+a/x)=f(x)
∴函数y=f(x)=x+a/x(a不等于0)是奇函数
∵a≠0
∴要分两种情况来求解：
(1)当a<0时，
∵y=x+a/x==>xy=x²+a
==>x²-xy+a=0
又a<0
∴对任意y，恒有△=y²-4a>0
故函数y的值域是(-∞,+∞)
∵y′=(x²-a)/x²>0
∴原函数在区间(-∞，0)∪(0，+∞)上单调递增
(2)当a>0时，同理可得x²-xy+a=0
∵此方程有实数解，且a>0
∴△=y²-4a≥0 ==>(y+2√a)(y-2√a)≥0
==>y≤-2√a，或y≥2√a
故原函数的值域是(-∞,-2√a][2√a,+∞)
∵令y′=(x²-a)/x²=0
∴x=√a,或x=-√a
∵当x∈(-∞,-√a)∪(√a,+∞)时，y′=(x²-a)/x²>0
当x∈(-√a,0)∪(0,√a)时，y′=(x²-a)/x²<0
∴原函数在区间(-∞,-√a)和(√a,+∞)上单调递增
原函数在区间(-√a,0)和(0,√a)上单调递减。

Answer 2

定义域 x不等于0
f(-x)=-f(x) y=f(x)为奇函数
当 a>0时 令 x>0 得 y大于等于2√a 由奇函数性质得 当x<0时，y小于等于-2√a
当 a<0时 g(x)=x 单调增; k(x)=-|a/x| 在 x<0时单调减，在x>0时单调增。
所以 当x>0时 ， f(x)单调增，再由奇函数性质 得 x<0时 f(x)也单调增

简图自己画