梯形里的三角形面积的比例是怎么算的？

Question

上底AB（12），下底CD（20），连接两条对角线，相交点为E，根据上底:下底=12:20=3:5,然后可以推出---
三角形ABE的面积:三角形BCE面积:三角形ADE面积:三角形CED面积=9:15:15:25

请问这是为什么?
如图,高12

Answer 1

设梯形的面积为S ,三角形ABC与三角形ADC是不同底 却等高三角形，所以面积之比为AB/CD=12:20=3:5 三角形ABC的面积为3S/8 三角形ADC的面积为5S/8
而三角形ABE与三角形CBE是同高三角形（分别以AE CE为底的）所以面积之比AE/EC=12:20=3/5(三角形ABE与三角形DEC相似，AB/DC=AE/EC=12/20=3/5)
三角形ABE的面积=3/8*S三角形ABC=3/8*3S/8=9S/64
三角形BEC的面积=5/8*S三角形ABC=5/8* 3S/8=15S/64
同理
三角形ADE与三角形CDE是同高三角形（分别以AE CE为底的）所以面积之比
AE/EC=12:20=3/5
三角形ADE的面积=3/8*S三角形ADC=3/8*5S/8=15S/64
三角形CDE的面积=5/8*S三角形ADC=5/8*5S/8=25S/64
所以三角形ABE的面积:三角形BCE面积:三角形ADE面积:三角形CED面积=9:15:15:25

Answer 2

三角形ABE的面积=1/2*底AE*高
三角形BCE的面积=1/2*底CE*高
两者的在AC边上的高是一样的,所以面积比为AE:AC
而比较三角形AEB和三角形CED,由于AB//CD可得它们三个内角相等故两个三角形相似
AE:CE=AB:CD=3:5

三角形ABE的面积:三角形BCE面积=3:5

同理三角形ABE的面积:三角形ADE面积=BE:DE=AB:CD=3:5

同理三角形ADE的面积:三角形CED面积=BE:DE=AE:CE=3:5

所以三角形ABE的面积:三角形BCE面积:三角形ADE面积:三角形CED面积=9:15:15:25

Answer 3

由△AEB和△CED相似，可得
AE:EC=BE:ED=AB:DC=3:5
△ABE和△ADE分别以BE和DE为底，则它们的高相等
所以S△ABE:S△ADE=BE:DE=3:5
同理可得S△ABE:S△BCE=AE:EC=3:5
S△ADE:S△CED=AE:EC=3:5
所以S△ABE:S△BCE:S△ADE:S△CED=9:15:15:25

Answer 4

你看看，几个三角形像是接龙的，根据等底或等高就可以了