初等函数的极限值 是直接带入吗 对初等函数有什么要求吗

Question

x/sinx也是初等函数 当x趋于0时 要用夹逼定理 而不能直接带入 是因为极限四则运算吗

Answer 1

1、一般的，初等函数的极限值是直接带入（可称代入法）。但是前提是这个初等函数在这一点连续。即
若f(x)在x=x0连续，则lim(x→x0)f(x)=f(x0).
可以说，连续函数在某点的极限值等于这点的函数值。
2、对初等函数也有上述要求。
由于初等函数在定义域的区间上是连续的，因此，求初等函数在x0 的极限值，只要x0属于定义域，且属于定义域的区间，那么可用代入法。
3、对于x/sinx，是初等函数，但是0不属于定义域，这函数在0无定义，且不连续。所以不能用代入法求x→0时f(x)的极限。但是发现它是不定式0/0型，虽然不能用极限四则运算的“商的极限等于极限的商”，但是我们可以用夹逼定理和罗必达法则求它的极限（等于1）。

Answer 2

老铁，这个高数没学明白啊，你要知道高数的很多定理推论都是有前提的，要想使用定理推论，必须在能让这个定理推论成立的前提下，才能使用！向x/sinx求极限，比较有效的方法是用书上两个重要极限中的sinx/x在x趋向于0情况下，sinx/x的极限为1这一结论来推导求出。也就是说对于x/sinx的极限求法如下：
对x/sinx分子分母同时除以x得到：1/(sinx/x)
在x趋向0时，上式的分子极限为1，分母极限也为1，所以整个式子极限为1，就完事，用什么夹逼定理，那是用来证明sinx/x这个极限的为1的一个过程而已。
另外，对于x/sinx的极限，也可以用洛必达法则，洛必达法则是在求极限是时，出现0/0型的极限，这是前提条件，没有这个条件或者无法通过各种办法转换出这个条件你就不能使用洛必达法则，明白高数中前提条件的重要性了吧？
下面使用洛必达法则求x/sinx的极限：
因为当x趋向0时，分子x趋向0，分母sinx也趋向0，所以是0/0型极限，所以能用洛必达法则
分别对分子分母对x求导得：1/cosx
此时当x趋向0时，上式分子极限为1，分母极限为1，所以整个式子极限为1

Answer 3

x/sinx的分母是sinx

sinx=0时，x=kπ(k=0，±1，±2，±3......)
故x/sinx的定义域为{x | x≠kπ(k=0，±1，±2，±3......)}
而x=0在定义域之外，故不能直接将0代入x/sinx中求极限。

Answer 4

首先，初等函数在其定义区间内连续。（注意：不是定义域，而是定义域内的一个区间）。
所以，初等函数f(x)求x→x0时的极限时，如果x0是其定义区间内的点，则极限值就是函数值f(x0)。
这里x/sinx当x→0时的极限，x=0不是x/sinx定义区间内的点，不能直接代入求函数值。

Answer 5

在函数的连续点，极限值等于函数值，所以可以代入。非连续点不能代入。追问

x/sinx 在0为什么不是连续点

谢谢你的回答

追答

x/sinx在0点的定义是什么？有没有定义？，如果定义是1，就是连续的。
初等函数在定义域内是连续的。

追问

x/sinx 当x＝0的值能计算到吗

第一眼看上去好像不是1

知道了 谢谢你的回答

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