行列式等价怎么判断？

Question

如题所述

Answer 1

行列式等价能得到同型矩阵秩相等。

行列式等价能的充要条件是同型矩阵且秩相等，相似必定等价，等价不一定相似，两矩阵等价，秩相等，列向量，行向量极大线性无关组数相等。

根据矩阵等价的充要条件，两个矩阵有相同的秩，可知n阶方阵A与单位方阵E等价的充要条件是：A秩=E秩=n。

也就是说A可以通过有限次初等变换得到E，而|E|=1. 由行列式初等变换的原理，可以知道，必存在一个非零的数k，使得|A|=k|E|不等于0，因此|A|不等于0是A和E等价的充要条件。

它们的秩相同；它们与同一标准型矩阵等价；如果它们是同阶方阵，则它们所对应的行列式同时等于0或同时不等于0；可以通过有限次初等变换，由其中一个矩阵得到另外一个矩阵。

性质：

1.矩阵A和A等价(反身性）。

2.矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）。

3.矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）。

4.矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)。

5.具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解。

6.对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

行列式一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式等价可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广，或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。