函数单调性判断

Question

我是高一的学生，练习时碰到这样的题型：

设f(x),g(x)在同一区间上为单调函数，有如下四个结论：
1.若f(x)是增函数，g(x)为增函数，则f(x)+g(x)为增函数；
2.若f(x)是减函数，g(x)为减函数，则f(x)-g(x)为减函数；
3.若f(x)是减函数，g(x)为增函数，则f(x)-g(x)为减函数；
4.若f(x)是增函数，g(x)为减函数，则f(x)-g(x)为增函数。

结论正确的有1，3，4。不清楚的是它的解题过程，两者都没有确定的对应关系，相加相减得到的函数如何判断其单调性？

Answer 1

首先，这几个结论请记住，很有用的：
①增函数+增函数，结果为增函数。减函数+减函数，结果为减函数。
②若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数。
③若f(x)是增函数，且f(x)>0，则f(x)的倒数为减函数。
以上几个结论是很容易证明的。

下面来证明题目中的选项1。
若f(x)是增函数，g(x)为增函数，求证：f(x)+g(x)为增函数。
证明：设x1<x2，因为f(x)和g(x)均为增函数，所以
f(x1)<f(x2)，g(x1) <g(x2)，即
f(x1)-f(x2)<0，g(x1) -g(x2)<0
[f(x1)+g(x1)]-[f(x2)+g(x2)]= [f(x1) -f(x2)]+ [g(x1)- g(x2)]<0，即
[f(x1)+g(x1)]<[f(x2)+g(x2)]
所以f(x)+g(x)为增函数。

选项1：是对的，上面已证。
选项3：g(x)为增函数，则-g(x)为减函数，所以f(x)-g(x)可以写成f(x)+[-g(x)]，两个减函数相加，结果为减函数。
选项4：g(x)为减函数，则-g(x)为增函数，所以f(x)-g(x)可以写成f(x)+[-g(x)]，两个增函数相加，结果为增函数。
选项2：这种情况没有解析式是无法判别的。

Answer 2

因为利用做差求函数的单调性，所以要对 （x1－x2）(1－a/x1x2)
进行讨论，因为x1>x2
，所以x1－x2＞0，可以去掉只讨论1－a/x1x2，当1－a/x1x2＜0即a/x1x2＞1，接下来再假设x1＞x2＞0，所以可以得到a＞x1x2，由此可知x1≤√a，出现√a是因为a≥x²1＞x1x2

Answer 3

定义法。设该区间上x1<=x2,则可以得到F（x1）与F（x2）的大小关系。从而得到F（x）的具体单调性

Answer 4

看y是否随x增大或减小

Answer 5

函数单调性的判断的方法教学