已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线是l：2

Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线是l：2x-y+3=0 (1)求b，c的值 (2)若f(x)在(0,正无穷)上单调递增，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f`(x)=3x^2+2ax+b
曲线在点x=1处的切线为3x-y+1=0,则有切点坐标为（1，4），切线斜率k=3
所以有：k=f`(1)=3+2a+b=3 1) 4=1+a+b+c 2)
又因为x=2/3时，y=f(x )有极值.
所以有：f`(2/3)=4/3+4a/3+b=0 3)
由1），3）可得：a=2 b=-4 代入2）可得：c=5
所以f(x)=x^3+2x^2-4x+5
f`(x)=3x^2+4x-4=(3x-2)(x+2)=0 x在[-3,1]
所以x=2/3 x=-2是其在[-3,1] 的极值点
f(-3)=-27+18+12+5=8
f(-2)=-8+8+8+5=13
f(2/3)=8/27+8/9-8/3+5=(8+24-72)/27+5=3+14/27
f(1)=1+2-4+5=-1
所以f(x)的最大值为f(-2)=13 ，最小为f(1)=-1