已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,过曲线y=（x)上的点P(1,f(1)）的切线方程为y=3x+1

Question

若函数y=f(x)在区间【-2，1】上单调递减，求实数b的取值范围？

Answer 1

∵函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,过曲线y=（x)上的点P(1,f(1)）的切线方程为y=3x+1
∴f'(x)=3x^2+2ax+b
1^3+a*1^2+b*1+c=3*1+1
3*1^2+2a*1+b=3
∴ a=-b/2 ,c=3-b/2
∴f(x)=x^3-b/2x^2+bx+3-b/2
f'(x)=3x^2-bx+b
由函数y=f(x)在区间【-2，1】上单调递减
令f'(x)=0，则△=b^2-4*3b>0,f'(-2)<0，f'(1)<0
题目在该区间单调递减不成立

Answer 2

f(x)=x^3+ax^2+bx+c，f(1)=1+a+b+c,
f'(x)=3x^+2ax+b,
依题意f'(1)=3+2a+b=3,a=-b/2,
∴f'(x)=3x^-bx+b,
y=f(x)在区间[-2，1]上单调递减,
<==>f'(x)<=0在区间[-2，1]上成立，
<==>f'(-2)=12+3b<=0,且f'(1)=3<=0(不可能），
∴实数b的取值范围是空集.