等价无穷小替换公式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

等价无穷小替换公式如下：

1、sinx~x

2、tanx~x

3、arcsinx~x

4、arctanx~x

5、1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1

6、（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)

7、（e^x）-1~x

8、ln(1+x)~x

9、(1+Bx)^a-1~aBx

10、[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x

11、loga(1+x)~x/lna

12、（1+x)^a-1~ax(a≠0)

求极限时使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在去极限的时候极限值为0。

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

Answer 2

等价无穷小替换公式（也称为无穷小代换法或极限代换法）是一种在求解极限问题时常用的方法。它将一个复杂的函数或表达式替换为与之在给定点处具有相同极限的简化函数或表达式。
通常情况下，等价无穷小替换公式可表示为：
lim f(x) = lim g(x)
其中，f(x) 和 g(x) 是两个函数，它们在特定点 a 处具有相同的极限。
等价无穷小替换公式的应用需要考虑到以下几点：
1. 在给定点 a 处，两个函数 f(x) 和 g(x) 的极限必须相等。也就是说，lim f(x) = L 和 lim g(x) = L，其中 L 是一个常数。
2. g(x) 可以是一个更简单形式的函数，比 f(x) 更容易计算。
3. 替换后的函数 g(x) 应该在给定点 a 处定义，避免出现除以零等问题。
需要注意的是，等价无穷小替换公式在某些情况下可能会引入误差，因此在使用时需要谨慎考虑。特别是在涉及到极限的精确计算或严格证明时，应该仔细分析问题和选择合适的方法。

Answer 3

等价无穷小替换公式是微积分中用于近似计算限的方法，它将一个无穷小量替换为一个与之等价的无穷小量，从而简化计算。以下是一些常见的等价无穷小替换公式：

1. 当 x 趋于零时，有以下等价无穷小替换：
- sin(x) ≈ x
- tan(x) ≈ x
- arcsin(x) ≈ x
- arctan(x) ≈ x

2. 当 x 趋于无穷大时，有以下等价无穷小替换：
- e^x - 1 ≈ x
- ln(1 + x) ≈ x
- sinh(x) ≈ x
- tanh(x) ≈ x

这些公式给出了在特定情况下，一些常见的函数在极限情况下的近似值。通过将函数替换为等价的无穷小量，可以在某些情况下简化计算。这可以在求解极限、计算导数和做近似计算时非常有用。需要注意的是，这些替换公式仅在相应的极限条件下成立，且只适用于特定的情况。在具体应用时，需要根据问题的要求和具体情况选择合适的替换公式。

Answer 4

等价无穷小替公式也称为极限替换或化法。它是一种在计算极限时常用的技巧，用于将复达式替换为更简单的等无穷小表达式等价无穷小替换公式如下：
1.lim(x→a) f(x) = 0，且lim(x→a g(x) ≠ 0，那么lim(x→a) f(x)/g(x) = 0；
2. 若lim(x→a) f(x) = ∞，且a) g(x ≠ 0，那么lim(x→a f(x)/g(x) = ∞；
. 若lim(x→a) f) = k（有限数），且lim(x→a) g(x) ≠ 0，那么lim(x→a) f(x)/g(x) = k/g(a)；这换可以帮助简化复杂限计算，但要注意使用时要确保换后的表达式与原始表达在极限点a处具有相同的极限值。