推导tanx的幂级数展开式/麦克劳林展开式

Question

如题所述

Answer 1

探索正切函数的神秘幂级数展开

想象一下，正切函数 tan(x) 的世界里，隐藏着一个优雅的幂级数公式，它就像一颗璀璨的数学明珠，映射出无穷的数学之美。我们今天将揭示这个秘密，证明其幂级数展开式为:

tan(x) = Σ_n=0^∞ (-1)^(n/2) B_2n * (2n)! * (x/π)^(2n+1)

这里，B_2n 代表的是著名的伯努利数，而其偶数项的绝对值正是这个公式的关键。我们首先定义一个复变函数，它与伯努利数紧密相连:

f(z) = Σ_n=0^∞ (-1)^n * B_2n * (z/π)^{2n}

接下来，我们通过巧妙的分析，揭示出麦克劳林展开的奥秘。令我们惊奇的是，当 z 变成 x 时，奇数项自动消失，而偶数项呈现出正负交替的规律：

对于偶数 n，f(x) 的偶数项 = (-1)^(n/2) * B_2n * (x/π)^(2n)

接着，我们构建一个辅助函数，巧妙地利用了奇数项的特性，令 g(x) = f(x) - f(-x)。这个步骤揭示了伯努利数偶数项的绝对值:

g(x) = Σ_n=0^∞ (-1)^(n/2) * B_2n * (2x/π)^(2n)

接下来，我们引入欧拉公式的力量，它像一把钥匙，打开了通往证明的门:

g(x) = Σ_n=0^∞ (-1)^n * (2x/π)^{2n}

通过这个恒等式，我们发现了一个重要的关系:

B_2n = (-1)^(n/2) * (2/π)^(2n) * Σ_k=0^n (2k)! / (2n)! * (2k)

进一步推导，结合三角恒等式，我们得出最终的结果:

tan(x) = Σ_n=0^∞ (-1)^(n/2) * B_2n * (x/π)^(2n+1) = Σ_n=0^∞ (-1)^(n/2) * Σ_k=0^n (2k)! / (2n)! * (2k) * (2x/π)^(2n+1)

就这样，我们揭示了 tan(x) 的幂级数展开式，它如同数学的交响乐章，每一项都充满了数学的魅力。这个证明不仅仅是一个公式，更是理解正切函数深层结构的一扇窗。