将tanx展开成迈克劳林级数

Question

如题，要能给出tanx的n阶倒数的通项。

Answer 1

x + x^3/3 + (2 x^5)/15 + (17 x^7)/315 + (62 x^9)/2835 + (

 1382 x^11)/155925 + (21844 x^13)/6081075 + (

 929569 x^15)/638512875 + (6404582 x^17)/10854718875 + (

 443861162 x^19)/1856156927625 + ……

 

这个因为tanX的倒数没有一定的表达式可以求得；所以只能利用（Tan[x]*Cos[x]=Sin[x]）正弦和余弦的级数展开进行比较系数得到（了解一下就好），具体的做法就是学会使用数学软件，mathematics等，轻易可以得到各种一般式的泰勒级数展开式的！

Answer 2

通项可不是那么好求的。
tan x = 2^(2n)[2^(2n) - 1]/(2n)! * Bn * x^(2n-1)，后面这个式子n从1加到正无穷
其中Bn = (-1)^(n-1) * b2n是伯努利数
而bn满足类似二项式展开的关系：
2b1 + 1 = 0
3b2 + 3b1 + 1 = 0
4b3 + 6b2 + 4b1 + 1 = 0
5b4 + 10b3 + 10b2 + 5b1 + 1 = 0
.........
这样可以解出bn，前几个bn是b1 = -1/2，b2 = 1/6，b3 = 0，b4 = -1/30，b5 = 0等等。收敛半径是Pi/2
上面是用伯努利数的方法。还有个不用伯努利数的展开式：
tan x = Tn/(2n-1)! * x^(2n-1)
Tn满足：
Tn - [2,2n-1] T(n-1) + [4,2n-1] T(n-2) - [6,2n-1] T(n-3) ... = (-1)^(n-1)
其中[2,2n-1]就是组合数，(2n-1)*(2n-2)/2!，类似[4,2n-1] = (2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)/4!
仍然用递推求出Tn，前几个Tn是T1 = 1，T2 = 2，T3 = 16，T4 = 272，T5 = 7936
tanx = x + x^3 / 3 + 2x^5 / 15 + 17x^7 / 315 + 62x^9 / 2835 + ...追问

两种方法都只是给出了tanx的n阶导数应该满足的关系，并不是通项啊。
你的方法和死算达到的效果也没很多区别啊，不太具备操作性吧，7阶和9阶的展开直接算都行。
比方我要x^71前面的系数，能给出来不。

追答

简单的通项表达式暂时没有。这样写是因为那个伯努利数有数表可以查阅，而且解代数方程总比求导稍微简单点吧。

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Answer 3

tanx求导＝1/(1+x^2) 通过常见的函数展开式：
1/(1+x^2)＝1-x^2+x^4-……(-1)^n x^(2n)
逐项积分得：tanx＝求和公式n(0,无穷) (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)
即tanx＝x- (x^3)/3 +(x^5)/5……(-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)
证明：如果函数能展开成x的幂级数，那么这种展开式是唯一的，一定与函数的麦克劳林级数一致。

Answer 4

给你一本高等数学，同济第五版的下册，回家自己好好研究啊