证明根号2是无理数的方法

如题所述

推荐答案 2020-02-15

假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示
则：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2
所以m是偶数
假设m=2k，那么2*n^2=4*k^2
所以n^2=2*k^2
所以说n也是偶数
既然m,n都是偶数，那么m/n就不是最简分数，与原设相矛盾
故根号2是无理数

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其他回答

第1个回答 2020-02-20

证明根号2是无理数
如果√2是有理数，必有√2=p/q（p、q为互质的正整数）
两边平方：2=p^/q^
p^=2q^
显然p为偶数，设p=2k（k为正整数）
有：4k^=2q^,q^=2k^
显然q业为偶数，与p、q互质矛盾
∴假设不成立，√2是无理数

第2个回答 2020-02-14

反证法如下：
假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示，也就是m、n的最大公约数是1
则：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2，所以m^2是偶数
偶数的平方一定是偶数，反之亦然，若一个偶数是完全平方数，那它的平方根也一定是偶数，所以m是偶数
假设m=2k，，k是整数。那么2*n^2=(2k)^2=4*k^2
所以n^2=2*k^2，与上面同理
所以说n也是偶数
既然m,n都是偶数，那么m/n就不是最简分数，它们的最大公约数就不是1，至少2也是它们的公约数，很显然2>1，与原题设的1是它们的最大公约数矛盾
故根号2是无理数

提高一下，如何证明根号3也是无理数呢？楼主自己去考虑

第3个回答 2020-04-08

20190821 数学04

相似回答

如何证明根号2是无理数?答：所以:根号2是无理数。这种方法叫反证法,1,假设相反的情况成立。2,根据假设得出于假设矛盾的结论。3,从而证明假设错误,原命题正确。常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单...

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