如何证明根号2是无理数？

Question

如题所述

Answer 1

设根号2是有理数。

根号2=M/N MN为互质整数。

则：2=M方/N方。

M方=2M方 即M方是偶数,M为偶数。

M为偶数,则M方为4的倍数。

则N方为偶数,N为偶数。

则MN不互质。

与假设矛盾。

所以:根号2是无理数。

这种方法叫反证法,

1,假设相反的情况成立。

2,根据假设得出于假设矛盾的结论。

3,从而证明假设错误,原命题正确。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、  等。

而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。

扩展资料：

如果正整数N不是完全平方数，那么  不是有理数（是无理数）。

证明：若假设  是有理数，不妨设  ，其中p与q都是正整数（不一定互质。若假定p、q互质则证法稍有变动）。

设  的整数部分为a，则有不等式  成立。两边乘以q，得

因p、q、a都是整数，p-aq也是一个正整数。

再在上述不等式的两边乘以  ，得

即：

显然，qN-ap也是一个正整数。