怎么用微积分算面积？举个例子

Question

我高一什么不懂，我想知道最后呢1/3是怎么算出来的，套什么公式么？

Answer 1

这个是属于定积分。定积分在图像上就表示一条曲线与X轴围城的面积。

解

①由∫x^adx=1/（1+a）*x^（1+a）+C可知

∫x^（1/2）dx=∫√xdx=1/[1+（1/2））]*x^[1+（1/2））]

=2/3*x^(2/3)+C

∫x^2=1/3*x^3+C

②∫【a，b】f（x）dx=F（x）|【a，b】=F（b）-F（a），

其中F（x）为f（x）的原函数

③∫【a，b】[f（x）-g（x）]dx={F（b）-G(b）}-{F（a）-G(a）}

因此

∫【0,1】{√x-x^2}dx=[2/3*x^(2/3)-1/3*x^3]|【0,1】

=（2/3-1/3）-（0-0）

=1/3

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

两曲线和x轴围成了两个曲边三角形，蓝色面积（图中用A表示）等于大的面积减去小的∫X^½·dx-∫X^2·dx=∫（x^½-x^2）·dx
积分原理具体百度。所谓面积元素（dA）就类似你图里蓝色部分中的分割出的紫色矩形，每个矩形宽都足够小，为dx，对应的长（比如宽的左端点是x。）为（x。^½-x。^2）；把所有紫色矩形面积（面积元素）加起来近似等于蓝色部分面积。
最后一步是牛顿莱布尼兹公式（导函数两点间的积分值等于原函数两点值的差）。本回答被网友采纳

Answer 3

这个是属于定积分。定积分在图像上就表示一条曲线与X轴围城的面积。。
这个图的两条曲线一个是Y=根号X 一个是Y=X2.
阴影部分的面积就是第一个的面积减去第二个的面积。。
所以你看到的面积元素也就是这么来的。。
我这么说你明白了么？追问

最后哪一步A等于、等于、等于，都是怎么算出来的，能详细的讲一下么？用的什么公式啊？

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Answer 4

解
①由∫x^adx=1/（1+a）*x^（1+a）+C可知
∫x^（1/2）dx=∫√xdx=1/[1+（1/2））]*x^[1+（1/2））]
=2/3*x^(2/3)+C
∫x^2=1/3*x^3+C
②∫【a，b】f（x）dx=F（x）|【a，b】=F（b）-F（a），
其中F（x）为f（x）的原函数
③∫【a，b】[f（x）-g（x）]dx={F（b）-G(b）}-{F（a）-G(a）}
因此
∫【0,1】{√x-x^2}dx=[2/3*x^(2/3)-1/3*x^3]|【0,1】
=（2/3-1/3）-（0-0）
=1/3
不懂可以追问

Answer 5

x轴任意划分，并且在每一个小分段中的取值也是任意的，而∑f（ξi）△xi当max△xi→0时，的极限总存在，才能叫定积分。 所以只要定积分存在，△x是任意的。只是书上为了方便，划为了等分。