77问答网
所有问题
如何证明根号三是无理数
如题所述
举报该问题
推荐答案 2014-02-24
分析:
①有理数的概念:
“有限小数”和“无限循环小数”统称为有理数。
整数和分数也统称为有理数。
所有的分数都是有理数,分子除以分母,最终一定是循环的。
②无理数的概念:无限不循环小数,可引申为“开方开不尽的数”。
③反证法的要领是假设一个明显荒谬的结论成立,然后正确地证明原假设是错误的。
解:
假设(√3)是有理数,
∵ 1<3<4
∴(√1)<(√3)<(√4)
即:1<(√3)<2
∴(√3)不是整数。
∵整数和分数也统称为有理数,而(√3)不是整数
∴在假设“(√3)是有理数”的前提下,(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。
此时假设 (√3) = m/n(m、n均为正整数且互质,二者不能再约分,即二者除1外再无公因数)
两边平方,得:
m² / n² = 3
∴m² 是质数3的倍数
我们知道,如果两个数的乘积是3的倍数,那么这两个数当中至少有一个数必是3的倍数。
∴由“m² (m与m的乘积) 是质数3的倍数”得:正整数m是3的倍数。
此时不妨设 m = 3k(k为正整数)
把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ,得:
(9k²) / n² = 3
∴3k² = n²
即:n² / k² = 3
对比“m² / n² = 3“ 同理可证
正整数n也是3的倍数
∴正整数m和n均为3的倍数
这与“m、n均为正整数且互质”相矛盾。
意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论,
∴原假设“(√3) = m/n(m、n均为正整数且互质,二者不能再约分,即二者除1外再无公因数)”是不成立的。
∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数
而已证(√3) 不是整数
∴(√3) 既 不是整数也不是分数,即(√3) 不是有理数。
∴(√3) 是无理数。
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
当前网址:
http://77.wendadaohang.com/zd/G33N3WW8p33N88vpWYN.html
其他回答
第1个回答 2014-02-24
用反证法。假设√3是有理数,则任何一个有理数都可以表示为既约分数m/n(即:m、n为整数,且互质)
因此√3=m/n,得3=m^2/n^2,即m^2=3*n^2,因此m^2含有3的因数,因此m含有3的因数
假设m=3p,则:(3p)^2=3*n^2,得n^2=3p^2,因此n^2含有3的因数,因此n含有3的因数
所以,m、n均含有3的因素,与m、n互为质数矛盾,因此√3是无理数
这是一个通用的证法,可以证明√2、√5、√6等等是无理数。
相似回答
如何证明根号3是无理数
答:
方法一:假设根号3=p/q(p、q为互质整数),则p^2=3q^2 所以3整除p^2,因3是质数
,所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q 因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾,所以根号3是无理数 方法二:设x=根号3,则有方程x^2=3 假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数),根...
根号3无理数
的
证明
答:
方法一:假设根号3=p/q(p、q为互质整数),则p^2=3q^2 所以3整除p^2,因3是质数
,所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q 因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾,所以根号3是无理数 方法二:设x=根号3,则有方程x^2=3 假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数),根...
如何证明根号三是无理数
答:
∴在假设“(√3)是有
理数
”的前提下,(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。此时假设 (√3) = m/n(m、n均为正整数且互质,二者不能再约分,即二者除1外再无公因数)两边平方,得:m² / n² = 3 ∴m² 是质数
3的
倍数 我们知道,如果两个数的乘积是3的倍数,那...
根号三怎么证明是无理数
答:
证明
:设√3=p/q(p、q为互质的整数),则3=p^2/q^2,p^2=3q^2,∴p是3的倍数,设p=3K(K为整数),9K^2=3q^2,q^2=3K^2,∴q也是3的倍数,这样p、q有公因数3,这与假设中p、q互质矛盾,∴√3不能表示成两个整数的比,即√3不是有理数,所以√
3是无理数
。
怎么证明根号三是无理数
答:
这个的
证明
其实很简单。因为由题意得x^2-3=0 由于x^2-3=0是关于x的一元多项式。所以如果x的解是有理数成立,那么x=+1或者x=-1与题意不符。所以√
3是无理数
。解法2:如果√3是有理数,那么有 √3=p/q (p,q为整数。)p/q为最简形式。那么有3=p^2/q^2 3q^2=p^2 左边3q^...
证明不存在平方为12的有
理数
, 关键的一点就是要
证明根号3
不是有理数
答:
法一:(反证法)设有理数a/b=根号3,则a^2=3b^2,所以3整除a^2,因为3是质数,所以3整除a,可设a=3c^2,则9c^2=3b^2,b^2=3c^2,所以3整除b,即b和a有公约
数3
,矛盾.所以
根号3是无理数
.法二:(方程法)要证根号3是无理数,只须
证明
方程x^2=3没有有理根即可.显然,平方数列1,4,9,16...
根号3
为什么为
无理数
?
答:
证明
√3为
无理数
的方法之一是通过反证法。我们假设√
3是
有理数,即可以表示为一个分数:√3 = a/b 其中a和b是整数,并且a/b是一个最简化的分数(也就是a和b没有公因数)。根据等式,我们可以得到:3 = (a^2) / (b^2)将等式两边乘以b^2得:3b^2 = a^2 由此得出,a^2是3的倍数...
大家正在搜
证明3的立方根是无理数
证明根号三不是有理数的过程
证明根号3是无理数的5种方法
√3是不是小于4的正无理数
用反证法证明根号3是无理数
根号三是无理数的真值
大于根号3的无理数
根号3是无理数吗
如何证明某个数是无理数
相关问题
如何证明根号3是无理数
怎么证明根号三是无理数
请证明:根号三是无理数
如何证明根号3是无理数???????
如何证明根号2是无理数
怎样证明根号3是无理数
如何证明根号2和根号3是无理数