已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a-6，f'（2）=-b-18，其中常数a,b∈R

Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a-6，f'（2）=-b-18，其中常数a,b∈R
（1）判断函数f（x）的单调性并指出相应的单调区间

Answer 1

答：递增区间为(-∞，-1)U(3，+∞)，递减区间为(-1，3)
f(x) = x³ + ax² + bx + 1
f'(x) = 3x² + 2ax + b
f'(1) = 2a - 6 => 3 + 2a + b = 2a - 6 => b = -9
f'(2) = - b - 18 => 12 + 4a + b = - b - 18 => a = -3
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 1，f'(x) = 3x² - 6x - 9，f'(x) = 0 => x = -1 或 x = 3
f''(x) = 6(x - 1)，f''(-1) < 0，取得极大值，f''(3) > 0，取得极小值
所以递增区间为(-∞，-1)U(3，+∞)，递减区间为(-1，3)

Answer 2

f'（x）=3x2+2ax+b
f'（1）=3+2a+b=2a-6 得 b=-9
f'（2）=12+4a+b=3+4a=-9 得a=-3
f'（x）=3x2-6x-9
f'（x）=0 得 x = -1 或 x = 3

Answer 3

经计算可的a=-3 b=-9 f(x)在【-1 3】上单调递减，在负无穷到-1和3到正无穷上单调递增。