【急】数列{an}中，an+1=-an^2+2an，a1=t(t>0)，且{an}是有界数列，求实数t范围

Question

我有一部分步骤
a(n+1)=-an^2+2a(n-1)+1=-(an-1)^2+1
a(n+1)-1=-(an-1)^2
令bn=an-1,b1=t-1
b(n+1)=-bn^2
b(n+1)=-bn^2=-(-b(n-1)^2)^2=-b(n-1)^4=-(-b(n-2)^2)^4
后面不知道怎么做了

好的我会加分！

Answer 1

b(1) =a(1)-1=t-1
b(2)=-b(1)^2
b(3)=-b(2)^2=-[b(1)^2]^2=-b(1)^(2^2)
同理得b(n)=-b(1)^(2^(n-1)) 得 a(n)= -(t-1)^[2^(n-1)]+1
因为{an}是有界数列，所以 |t-1|<=1
得 0=<t<=2追问

因为{an}是有界数列，所以 |t-1|<=1
这一步不懂
麻烦解释一下，O(∩_∩)O谢谢

追答

因为|t-1|>1 指数[2^(n-1)]大于0，当n很大时，其值就趋近正无穷或正无穷，就不可能有界，
只可能绝对值是小于1的数

Answer 2

对于有界数列 我了解的不是很多 有一个单调有界定理 

就是若一个函数在某一区间单调且存在极限便有界 因为数列的单调性证明很那啥- =就省略

所以严格的来说这个做法欠缺完备性

完备的解法可由an与a（n+1）的极限相等而转化为

求方程x^2=-x^2+2x的实数解 其解即为数列的收敛点 也就是说an的取值必在其中 a1就更不用说了 这样的解法就完备了 但是文字说明过程也就相应的多一点 要是选择填空或是要求不太高的解答题的话还是推荐下面的方法

另外，若LZ需要*步骤的数学归纳法的证明过程或者还有什么不明白的地方可追问

希望我的回答对你有帮助