解:(1) A(n+1)=(1+1/n)An+(n+1)/2^n.,即A(n+1)=[(n+1)/n ] / An+(n+1)/2^n.
两边同除以(n+1) ,就得到了B(n+1)=Bn+1/2^n,即
B(n+1)-Bn=1/2^n ,其中B1=A1/1 =1
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∴当n≥2时,有 Bn-B(n-1)=1/2^(n-1)
无穷往下写 B(n-1)-B(n-2)=1/2^(n-2)
B(n-2)-B(n-3)=1/2^(n-3)
。。。。。。。。。。。
B3-B2=1/2^2
B2-B1=1/2^1
将以上式子相加,(左边大量抵消,右边是等比求和)
得 Bn-B1= 1-1/2^(n-1) (n≥2)
移项,得Bn=2-1/2^(n-1) (n≥2)
当n=1时,B1=A1/1 =1 也满足刚才的公式
∴Bn=2-1/2^(n-1) (n∈N*)
(2)由于Bn=An/n ,所以An=n·Bn=2n-n/2^(n-1)
观察可知,An由两部分构成,第一部分{2n}是一个
等差数列,直接有求和公式。
第二部分{ n/2^(n-1) } ,是经典的 {等差×等比} 类型的求和,用
错位相减法可以求出这一部分的和。最后两部分相减,得到了An的前n项和。 第二问只给思路,你自己解。