隐函数如何求导

Question

大学微积分C册中求导一章中涉及到对隐含数求导，即利用复合函数求导将Y看成是关于X的复合函数。可是我对一些例题和常见的问题还是不太明白。

Answer 1

隐函数的导数
设方程P(x, y)=0确定y是x的函数, 并且可导. 现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数y对x的导数.
例1 方程 x2+y2-r 2=0确定了一个以x为自变量, 以y为因变量的数, 为了求y对x的导数, 将上式两边逐项对x求导, 并将y2看作x的复合函数, 则有
(x2)+ (y2)- (r 2)=0,
即 2x+2y =0,
于是得 .
从上例可以看到, 在等式两边逐项对自变量求导数, 即可得到一个包含y¢的一次方程, 解出y¢, 即为隐函数的导数.
例2 求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数.
解: 将方程两边同时对x求导, 得
2y y¢=2p,
解出y¢即得
.
例3 求由方程y=x ln y所确定的隐函数y=f(x)的导数.
解: 将方程两边同时对x求导, 得
y¢=ln y+x× ×y¢,
解出y¢即得 .
例4 由方程x2+x y+y2=4确定y是x的函数, 求其曲线上点(2, -2)处的切线方程.
解: 将方程两边同时对x求导, 得
2x+y+x y¢+2y y¢=0,
解出y¢即得
.
所求切线的斜率为
k=y¢|x=2,y=-2=1,
于是所求切线为
y-(-2)=×(x-2), 即y=x-4.

参考资料：导数的基本公式与运算法则

Answer 2

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有
y'
的一个方程，然后化简得到
y'
的表达式。
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:
先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);
利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;
把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。举个例子，若欲求z
=
f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)
=
0的形式，然后通过(式中F'yF'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。

Answer 3

整体求导，按照以下法则：

1）x的导数是1，
2）y的导数是y'，
3）按照一般的求导法则即可计算

观察一下gy1397 的例题即可

Answer 4

把式子里的y写成f(x)
就好理解了
求完导以后式子里的f'(x)实际上就是y'