数列有界是数列收敛的什么条件？

Question

为什么答案是B，不是有极限一定有界而有界不一定有极限么？

Answer 1

他这里有界的是数列的和Sn,不是数列an本身
因为an＞0，一个正项数列的和一定是递增的，同时还有界，所以n趋于无穷时an的极限一定是0，所以an一定收敛
而如果an收敛，若不是收敛到0，则Sn一定不是有界。如果收敛到0，则Sn也不一定有界，比如调和级数就是发散的
所以这个题选B追问

谢谢！明白了，已采纳

Answer 2

请你搞清楚,收敛一定有界是针对同一个数列来说的,现在一个是Sn有界,一个是an收敛,你可以直接套用这个定理?
an>0,Sn有界,根据正项级数收敛的判定定理,Sn收敛.再根据级数收敛的必要条件,得an收敛.所以从Sn有界可以推出an收敛,充分性得证.

而an收敛,Sn不一定有界,例如调和级数Sn=1+1/2+1/3+...,an=1/n收敛,但Sn发散,即无界,所以必要性不得证.
所以是充分非必要条件.

Answer 3

数列收敛是数列有界的必要而不充分条件，没有界数列一定发散，所以有界是收敛的必要条件，但是有界数列不一定收敛，有界数列是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。

如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。如果数列Xn收敛，那么该数列必定有界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。