数列有界是它收敛的什么条件？

Question

如题，请告诉我为什么，最好举出例子

Answer 1

必要但不充分条件

证明：
若an→a，
那么有对所有的e>0,存在自然数N，
当n>N,时 |an-a|<e
就是说 n>N时 a-e<an<a+e,是有界的
对于n<=N时，那N个数（有限多个），必然有一个最大的ai，和一个最小aj的

取M=max{a+e,ai} m=min{a-e,aj}
那么M，m分别是an的上界和下界
所以an有界。

这就说明了收敛数列必有界。

但有界，不一定收敛
比如 an=(-1)^n
这个数列是这样的
-1,1,-1,1....
不收敛，但是 -1<=an<=1
是有界的。

所以
数列有界是它收敛的必要但不充分条件

Answer 2

必要而不充分条件。
无界数列一定发散（这不必举例了吧），所以有界是收敛的必要条件；
但是有界数列不一定收敛。例如数列{(-1)^n}，显然是有界的，但也是发散的。所以有界不是收敛的充分条件。

Answer 3

必要不充分，
必要显然，
不充分，（-1）^n,n--无穷大

Answer 4

必要但不充分条件