有界数列收敛的充要条件是什么

Question

大哥，你没有看懂我的问题，我问的是有界数列在什么条件下收敛，不是问数列有界是数列收敛的什么条件

Answer 1

要使有界数列收敛的充要条件就是极限存在的充要条件
级数Sn:对任意ε>0，存在N，使得当n>N时，|Sn-A|<ε

对于函数（数列）极限而言，都没有说有界与收敛的充要条件。
因为某个函数（数列）有界，其收敛的充分条件因问题不同而不同。

一般而言只有有界到收敛的充分条件：比如：
1.单调递增函数（数列）有界必然收敛。但是无法推出收敛就一定单调。
2.夹逼准则
以及其他一些充分（不必要）条件

这个问题的充要条件其实只有极限的定义。

对于级数而言，除了常用的上面2条基本的外
还有
比较审敛法
比值审敛法
达朗贝尔判别法等

这些都是充分条件

如果是充要条件，知道是什么情况吗？
满足就收敛，不满足就不收敛。这是万金油的审敛法，如果有就没有这么多审敛法了。
如果楼主能找到这种即万金油的审敛法，那么你可以得菲尔兹奖了。

Answer 2

数列有界是数列收敛的什么条件
必要

收敛数列必有界,证明如下:
设数列{An},n>=1,收敛于A,则对任意的a>0,存在一个N,使得对一切n>N有|An-A|<a.现在不妨取a=1,则存在N',使|An-A|<1对所有n>N'成立.即有
|An|=|An-A+A|<=|An-A|+|A|<1+|A|.
再注意N'之前只有有限项,所以取
M=max{|A1|,|A2|,…|A_N'|,1+|A|},则有
|An|<M 对任意n>=1成立,也即数列有界。

有界数列不一定收敛，例子很多，比如
(-1)^n, 此数列在1与-1之间波动，不收敛！

Answer 3

单调