九上数学 对称式轮换式2

Question

(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 急.先谢谢了.

Answer 1

(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5
首先观察,a=-b的话,那么上面的式子是0
所以化简结果中一定有(a+b),根据轮换对称,知道一定还有(b+c),(c+a).
于是上面的式子是(a+b)(b+c)(c+a)和一个2次轮换式的乘积.
2次轮换式是a^2+b^2+c^2或者ab+bc+ca以及2者的线形组合.
所以应该是
(a+b)(b+c)(c+a)*(m(a^2+b^2+c^2)+n(ab+bc+ca))
用待定系数法,将a=1,b=1,c=0代入,有
30=2*(2m+n)
将a=1,b=1,c=1代入,有
240=8*(3m+3n)
解得m=n=5
所以应该是原式=5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)