数学分析问题 设定义在R上的函数f在0、1两点连续，且对任何x属于R有f(x^2)=f(x).证明f为常量函数.

Question

要详细过程 谢谢

Answer 1

证明：因为f(-x)=f(x)=f(x^2),所以f为偶函数，只需证明x>=0时f(x)为常数即可
设x>0且不为1，则f(x)=f(根号x)=f(x^(1/4))=……=f(x^(1/2^n))
当n充分大时，f(x)可任意接近lim(x→1)f(x)
因f(x)在x=1处连续，所以f(x)=lim(x→1)f(x)=f(1) ，(x>0)
再根据f在x=0处连续有f(0)=f(t)=f(1),t属于0的某个去心邻域
综上有f(x)=f(1),x>=0
由偶函数对称性，f(x)≡f(1),x为R。
证毕！