一般矩阵的相似对角化用它的特征向量组成的矩阵就可以了，为什么实对称矩阵的相似对角化这么特殊呢，名称叫做正交矩阵化，求得特征向量矩阵后还要正交化和单位化使之成为正交矩阵呢？求大神指点
对称矩阵也可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵做对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，也就是正交相似对角化。
这么做有好处：正交矩阵的逆矩阵很容易求，就是它的转置，不像一般的可逆阵需要半天才能求出来。如果是一个1000*1000的矩阵求逆，那要多长时间才能做完？但正交矩阵就太容易了，只要转置一下就行了。
扩展资料：
正交矩阵从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。
把一个解析式变成与它恒等的另一个解析式．使用恒等变换往往是在碰到的问题比较繁杂、一时难以下手的时候，通过恒等变换把要解决的问题简化，由未知到已知，最终解决问题．所以，恒等变换的特点就是：将复杂的问题通过表达形式的变形转化成容易解决的简单问题。
它的正交性要求满足三个方程，在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设p=cosθ,q=sinθ；因此要么t=−q，u=p要么t=q,u=−p。我们可以解释第一种情况为旋转θ(θ=0是单位矩阵)，第二个解释为针对在角θ/2的直线的反射。
旋转反射在45°的反射对换x和y；它是置换矩阵，在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0)。
参考资料来源：百度百科——正交矩阵
实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵一般都是为了简化后续的计算。
因为实对称矩阵是特殊的矩阵。他的特点就是可以正交对角化（一般的矩阵只能相似对角化）即把特征向量组成的矩阵再进行斯密特正交化以及单位化 这样做的目的是使得P的逆矩阵AP＝P的转置矩阵AP，即P的逆矩阵＝P的转置矩阵。
如果不进行正交化和对角化 则只是P的逆矩阵AP＝B 即A B相似。
扩展资料：
实对称矩阵主要性质：
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。
参考资料来源：百度百科-实对称矩阵
本回答被网友采纳你的意思是非正交矩阵也能把实对称矩阵相似对角化吗，那辛辛苦苦正交化单位化干嘛？
我又不求逆，求逆麻烦和我没关系啊，我要的只是一个可逆矩阵P将A相似对角化得Λ，而P^(-1)我不需要知道
谢谢回答，继续
你得知道对角化的目的是什么，就是为了后续的计算。如果你只是把它对角化了而不进行后续计算，那还对角化干嘛？当然，学习阶段出题的时候可能只是为了考你们掌握对角化的过程，因此不考后续的一些计算。学这个的目的是为了以后的应用。
追问没看出来正交对后续计算的影响啊，那非实对称矩阵不能正交化岂不是不能后续计算了？
我就是觉得很多时候正交化没必要，但题目一遇到实对称矩阵就正交化，无解
能进行计算，只不过麻烦而已，最简单的例子：求A^100，一般的对角化你是需要求出P^(-1)，但P是正交阵就不需要了，因为P^(-1)=P^T。特别是在数值计算中，不用正交化的后果是很严重的，由于误差的积累往往计算得到的结果根本是错误的，但用正交矩阵就没有这个问题，误差可以控制在机器精度以内。我说了，学习时只是给你一个工具，让你知道掌握这个工具，以后有用的着的地方，不是目前非要用。如果题目没有要求正交化，你可以不做正交化。
追问谢谢你的回答，大概明白了，还有个问题，那我要求一个非实对称矩阵的100次方，那我就必须要求逆吗，我能用正交化来避免求逆这个过程吗，或者说，非实对称矩阵能正交矩阵化吗，我好像没见过
追答非对称阵没办法，只能用一般的相似对角化，所以非对称阵的计算是数值计算的一个很大的问题，需要小心小心再小心。
本回答被提问者采纳B对角线上的元素已经是A的特征值，我的目的已经达到了，可以很多题目还是正交化单位化，我觉得没必要， P的逆矩阵AP＝P的转置矩阵AP 即P的逆矩阵＝P的转置矩阵是为了构造2次型，我不需要构造，那么我相似对角化就够了，不用正交矩阵化了，是不是呢
请继续回答