用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化时为什么要单位化

Question

书上说用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化时要正交化单位化，为什么要单位化，可以只做正交化不做单位化吗?如下图求Q可以只做到正交化吗？

Answer 1

要保证，这个矩阵乘这个矩阵的转置等于单位阵
这样，这个矩阵的逆矩阵就和它的转置相等
这样就可以把相似表达式中的逆矩阵替换为转置
最后变成合同矩阵，这样就可以把二次型标准化

Answer 2

正交变换即是相似变换也是合同变化。单位化就是为了符合相似变换的条件,此时 p -1=p T。