定义在R上的函数f(x)=1/3ax3+bx2+cx+2同时满足以下条件：

Question

1.f（x）在（0，1）上时间函数，在（1，+无穷）上是增函数。
2.f（x）的导函是偶函数
3.f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直

问题：1.求函数f(x)的解析式
2.设g（x）=（1/3x3-f（x））ex求函数g（x）在【m，m+1】上的最小值

Answer 1

1.f'(x)=ax²+2bx+c，由于f'(x)是偶函数，所以 b=0，f'(x)=ax²+c
又f（x）在（0，1）上减函数，在（1，+无穷）上是增函数，所以f'(1)=0，即a+c=0
由f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，所以 f'(0)=c=-1，从而a=1
于是 f(x)=x³/3 -x+2
2.g(x)=(x-2)e^x，g'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x，
易知，g(x)在（-∞，1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数。
（1）当0≤m≤1时，1∈[m，m+1]，[g(x)]min=g(1)=-e；
（2）当m<0时，g(x)在[m，m+1]上是减函数，[g(x)]min=g(m+1)=(m-1)e^(m+1)；
（3）当m>1时，g(x)在[m，m+1]上是增函数，[g(x)]min=g(m)=(m-2)e^m

Answer 2

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