设函数f(X)在[a,b]上连续 ，在 （a,b）上有二阶导数 ，若 f'(a)=f'(b)=0,则在（a,b)内至少有一点 克色 使

Question

|f(b）-f(a)|小于等于 （b-a)^2/4|f“(克色）|

Answer 1

设 c = (a+b)/2,
则存在 a < t1 <c＜t2＜b，　使得：
f(c)=f(a)+f'(a)(c-a)+f''(t1)*(c-a)^2/2
f(c)=f(b)+f'(b)(c-b)+f''(t2)*(c-b)^2/2
两式相减，利用f'(a)=f'(b)=0，c = (a+b)/2，可得：
f(b)-f(a)=(f''(t1) - f''(t2))/2 *（b-a)^2/4
==>
|f(b）-f(a)| <= max{|f''(t1)|, |f''(t2)|}（b-a)^2/4
如果 |f''(t1)|>=|f''(t2)|,取克色 为t1, 否则，取 克色 为t2, 则结论成立。追问

t1,t2为什么 不可以是 a,b

追答

t1, t2 是根据泰勒展开得到的。 取a,b 只是一种近似，没法判断大小。

追问

(f''(t1) - f''(t2))/2小于等于max{|f''(t1)|, |f''(t2)|}怎么推的

追答

|(f''(t1) - f''(t2))/2|
<=( |(f''(t1)|+|f''(t2)|)/2
<=(max{|f''(t1)|, |f''(t2)|} +max{|f''(t1)|, |f''(t2)|} )/2
= max{|f''(t1)|, |f''(t2)|}