一个线性代数问题，求大虾指导：

Question

（α1，α2，α3）=（β1，β2，β3）A，其中A为3阶方阵，已知β1，β2，β3为线性无关，那么凭借什么一步就可以很快确定:
<1>|A|=0,则α1，α2，α3线性相关
<2>|A|≠0,则α1，α2，α3线性无关

Answer 1

记B=（α1，α2，α3），C=（β1，β2，β3），这是两个矩阵，这几个向量就是它们的列向量。
如果每个向量都是3维那就简单了，那就是方阵乘法B=CA；
所以<1>|A|=0 得知|B|=0，从而列向量线性相关
<2>|A|≠0,由于β1，β2，β3为线性无关则|C|≠0，则B|≠0，从而α1，α2，α3线性无关；

如果不是三维，那就不能使用行列式这个工具了。你就用ls的秩的方法来做吧。
ps，|A|≠0说明A非奇异，非奇异矩阵乘以别的矩阵不改变它的秩。

Answer 2

设矩阵B＝（α1，α2，α3），C=（β1，β2，β3），B＝CA => |B|=|CA|=|C|*|A|。
β1，β2，β3为线性无关=> |C|≠0，若|A|=0则|B|=0，即α1，α2，α3线性相关；
若|A|≠0则|B|≠0，即α1，α2，α3线性无关。
该证明的前提是A、B、C都是3阶方阵。

Answer 3

利用“秩”
设矩阵B＝（α1，α2，α3），C=（β1，β2，β3），则B＝CA
|A|＝0，则秩B≤秩A＜3
|A|≠0，则秩B＝秩C＝3追问

|A|＝0，则秩B≤秩A＜3，这个我可以理解，是依据乘积的秩，但是|A|≠0，则秩B＝秩C＝3 ，为什么说秩B＝秩C呢？求解释~~

追答

A可逆

Answer 4

令A= [a1, a2, a3]，其中a1，a2，a3为A的三个列向量
则 α1 = （β1，β2，β3）a1
α2 = （β1，β2，β3）a2
α3 = （β1，β2，β3）a3
则 k1α1+ k2α2 + k3α3 = 0 《=》 （β1，β2，β3）（k1a1+ k2a2+ k3a3） = 0
β1，β2，β3线性无关，故上式《=》k1a1+ k2a2+ k3a3 = 0
至此已经显然，|A| = 0， 则a1，a2，a3线性相关，存在非零的k1k2k3使得上式成立，故α1α2α3也线性相关；否则不存在非零的k，α们也线性无关