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f在区间[0,1]有二阶导数,f(1)=f(0)=f'(1)=f'(0)=0,证明存在c属于(0,1),f''(c)=f(c)
如题所述
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第1个回答 2022-06-25
构造函数
F(x)=e^xf'(x)-e^xf(x)
F'(x)=e^xf'(x)+e^xf''(x)-e^xf(x)-e^xf'(x)
=e^x[f''(x)-f(x)]
F(0)=0,F(1)=0
所以存在c,使得F'(c)=0
即e^c[f''(c)-f(c)]=0
因为e^c≠0
所以f''(c)=f(c)
相似回答
f在区间[0,1]有二阶导数,f(1)=f(0)=f
'(1)=f'
(0)=0,证明存在c属于(0
...
答：
f''
(c)=0
。
设f(x)在
[0,1]
上
有二阶导数,f(
0)=
f(1)=f(0)=f
(
1)=0,证明存在
ξ∈
(0,1
...
答：
【答案】：设F(x)=[f(x)+f'(x)]e-x，由题设可知F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且
F(0)
=F(1),由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(0，1)，使F'(ξ)=0，又F'(ξ)=[f'(x)+f"(x)]e-x-[f(x)+f'(x)]e-x=[f"(x)-f(x)]e-x由于e-ξ≠0，可知有f"...
设f(x)在
[0,1]
上
具有二阶导数,
且
f(1)=f(0)=f
'(1)=f'
(0)=0,证明
:
存在
...
答：
f'
(0)
-∫[0,
0]f(
x)dx=f'
(1)
-∫
[0,1]f(
x)dx ∴根据拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈
(0,1)
使得 f''(ξ )-f(ξ
)=0
即f''(ξ
)=f(
ξ )
...
f(0)=f(1)=f
'(0)=f'
(1)=0
.
证明
:
存在
ξ∈
(0,1)
.使f"(ξ)=f(ξ...
答：
f(0)=f
(x)+f'(x)(-x)+f''(a)x^2/2
f(1)=f(
x)+f'(x)(1-x)+f''(b)(1-x)^2/2 x相减得：
0=f
'(x)+f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2 |f'(x)|=|f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2|《0.5M((1-x)^2+x^2)现考虑g(x)=((1-x)^2+x^
2),
g...
若f(x)在〔0,1〕上
有二阶导数,
且
f(1)=0,
设
F(
x)=x^2f(x
),证明
:
在(0,1
答：
证明：∵f(x)在
[0,1]
上
有二阶导数
。∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导。∴F(x)及F'(x)在[0,1]上也连续可导又
f(0)=f
(1)=0。∴F(0)=0*
f(0)=0, F(1)=f(
1)=0。由罗尔定理知
在(0,1)
内至少存在一点ξ1，使F'(ξ1)=0又F'(x)=f(x)+xf'(x)。且f(0)=f(1)...
...且
f(1)=f(0)=0,F(
x)=x^2f(x
),证明在(0,1)
内至少有
一
点a,使得F...
答：
F(x)=x^2f(x)
F(0)=0
F(1)=
0 所以
在(0,1)
内至少有一点ξ1,使得F'(ξ1)=0。F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)F'(ξ1)=0 F'(0)=0 所以在(0,ξ1)内至少有一点a,使得F''(a)=0。就是两次运用罗尔定理
设f(x)在
[0,1]
上
有二阶
连续
导数,
且满足
f(1)=f(0)
及|f''(x)|<=M(x...
答：
Taylor展式：对任意的x，
f(0)＝f
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x)+f'(x)(1－x)+f''(c2)(1－x)^2/2。两式相减，得 f'(x)＝f''(c1)x^2/2－f''(c2)(1－x)^2/2，取绝对值并利用条件得 |f'(x)|<=M/2(x^2+(1－x)^2)<=M/2。最后...
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