怎么证明开普勒第二定律？

Question

如题所述

Answer 1

数据：两倍掠面速度(J0)，两倍椭圆面积(2πab)，椭圆周期定律(T)，极径(R)，偏斜速度(VS)，偏斜动量(mVS)，速度方向与极径夹角(α)，球面速度(VD)，极径角速度(ωR), 弧高(RL) ，最小曲率半径（L0），速度系数（VC），天体引力常数（GM）
开普勒第二定律掠面速度守恒公式：
J0 = (GML0）1/2 = L0（GM/ L0）1/2 = L0·Vc = a(1-e²)·VC = R·VS·sinα= VS·R·cosβ。
这是天体偏斜运动一般的矢积面速度守恒公式：极径*天体速度*两矢夹角正弦。
开普勒第二定律几种表述：
表述一：两倍掠面速度(J0)= 两倍椭圆面积(2πab)/椭圆周期(T)
J0 = 2πab/T = 2(πab/n)/(T/n) = 2dA/dt
表述二：极径(R)* 天体速度(VS)*两矢夹角的正弦sin(α)的三个变量的积是不变量。
J0 = VS·R·sinα= VS·R·cosβ
表述三：天体速度(VS)*弧高(RL) 二个变量的积是不变量。
J0 = VS·（Rcosβ）= VS·RL
表述四：极径(R)*球面速度(VD)二个变量的积是不变量。
J0 =R·（VS cosβ）= R·VD = R·dD/dt
表述五：极径的平方(R²)*极径角速度(ωR)的积是不变量。
J0 = R·VD = R（RωR） = R²·ωR
表述六：最小曲率半径（L0）*速度系数（VC）。
J0 = R·VD=（L0/K0）·（VC K0）= L0·VC = L0（GM/ L0）1/2
表述七：天体引力常数（GM）与最小曲率半径（L0）积的平方根。
J0 = L0·VC = L0·（GM/ L0）1/2 = （GM·L0）1/2
特别的：
近日点的天体速度最大：Vm= J0/Rn =J0/a(1-e) = a(1-e)(1+e)·VC/a(1-e) = VC(1+e)
远日点的天体速度最小：Vn= J0/Rm =J0/a(1+e) = a(1-e)(1+e)·VC/a(1+e) = VC(1-e)。

Answer 2

开普勒第二定律内容（又称面积定律）如下：对于每一个行星而言，太阳（恒星）和行星的连线在相等时间内扫过的面积相等。众所周知，连线扫过的图形是一个不规则的曲边三角形，对于曲边三角形而言，它的面积似乎只能用积分来求，但开普勒生活的时代早于微积分的创始者-------牛顿与莱布尼兹生活的时代，那么他是怎样发现并证明出这个匪夷所思却极其美妙的面积定律呢？为了思考这个问题，我也尝试了证明，刚开始运用了动能定理，式子能够列出来，但无法确定出速度与时间的函数关系，后来我又尝试了动量定理，但行星所受的太阳引力是变力，不适用于冲量的运算。
大概前天晚上，我查了资料得知“角动量守恒定律”可以推倒出第二定律。今天下午我来到了新华书店，翻开了一本大学物理教材，里面详细介绍了角动量，力矩的概念。
如图1所示，质点P绕O点转动（P既有可能做圆周运动，也有可能做不规则的向心运动），其与中心点O的距离为r，角动量的定义为绕转质点到中心点的距离与其动量的乘积，故角动量为矢量，用公式表示：L=mvr。（其中m为绕转质点的质量，v是绕转质点的线速度，r为绕转质点到中心质点的距离，式子为矢量相乘）。
初中学杠杆定理时，曾接触过力矩的概念。如图2所示，绕转质点P所受的力为F，则力矩等于质点P受到的外力和与其垂直并到中心点距离的乘积。用公式表示为：M=Fr（矢量相乘，M为力矩，F为绕转质点受到的合力，r为与绕转质点垂直并到中心点的距离），力矩的大小表示为M=FrsinA。如果F与r共线，则力矩M就为0.

下面将会运算出一个极其重要的结论。运用求导：dL/dt=d(mvr)/dt=dr·(mv)/dt+r·d(mv)/dt。（这一步照搬课本上的，具体算法我也不知道），最终算出M=dL/dt。

由此可以得到一个结论：质点所受合力对任意参考点的力矩等于该质点对同一参考点角动量的变化率。这就是角动量守恒定律。
如图3所示，在椭圆轨道中，行星E的受力为F，指向恒星S，则F与r共线，故行星E的力矩为0，则其角动量的变化率为0，所以说行星在其椭圆轨道上任意一点的角动量大小始终没有变化。角动量的单位是kg·m^2/s，可以间接的理解为角动量等于质量乘以面积再乘以时间的倒数，很显然，面积就是质点的运动轨迹与中心点所围成的曲边三角形的面积。所以在相同的时间间隔里，面积必定相同。

Answer 3